Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

211 Zusammenfassung Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind eine Zahl a und eine Funktion s: M ¥ R . Beschreibe die Menge aller differenzier- baren Funktionen f: M ¥ R mit f’ + a·f = s.“ eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten und die Aufgabe „Gegeben sind Zahlen a, b und eine Funktion s: M ¥ R . Beschreibe die Menge aller differenzier- baren Funktionen f: M ¥ R mit f’’ + a·f’ + b·f = s.“ eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten. Dabei ist M ein offenes Intervall, eine offene Halbgerade oder ganz R . Wenn s die Nullfunktion 0 ist, heißt die Differentialgleichung homogen , sonst inhomogen . Wird eine Lösung f einer linearen Differentialgleichung der Ordnung 1 bzw. 2gesucht, von der die Funktionswerte von f (bzw. von f und f’) an einer Stelle t 0 vorgegeben sind, dann spricht man von einer linearen Anfangswertaufgabe der Ordnung 1 (bzw. 2) . Wir erhalten alle Lösungen einer linearen Differentialgleichung y’ + a·y = s der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten a, indem wir zu irgendeiner Lösung f (diese nennt man eine partikuläre Lösung ) beliebige Vielfache der Funktion h mit h(t) = e ‒at addieren. Um eine partikuläre Lösung f der linearen Differentialgleichung y’ + a·y = s zu finden gehen wir wie folgt vor:  Wir berechnen eine Stammfunktion g von g’ mit g’(t) = s(t)·e at .  Dann ist die Funktion f mit f(t) = g(t)·e ‒at eine Lösung von y’ + a·y = s. Die quadratische Gleichung x 2 + ax + b = 0 heißt die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y’’ + ay’ + by = 0.  Wenn die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y’’ + ay’ + by = 0 zwei (verschiedene) reelle Lösungen u und v hat, dann ist die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e ux + d·e vx mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d.  Hat diese Gleichung nur eine reelle Lösung u, dann ist die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e ux + d·x·e ux mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d.  Wenn die charakteristische Gleichung keine reellen Lösungen hat, dann sind ihre komplexen Nullstellen konjugiert, also α + β j und α – β j für geeignete reelle Zahlen α und β . Die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 ist dann die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e α x ·cos( β x) + d·e α x ·sin( β x) mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d. lineare Differential- gleichung mit konstanten Koeffizienten lineare Anfangswert- aufgabe Lösungen einer linearen Diffe- rentialrechnung der Ordnung 1 Variation der Konstanten charakteri- stische Glei- chung Lösungsmenge einer homo- genen linearen Differential- gleichung der Ordnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv