Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

212 Zusammenfassung: Differentialgleichungen Für eine Funktion f: [0; • ) ¥ R bezeichnen wir mit M f die Menge aller reellen Zahlen s, für die das uneigentliche Integral F(s) = : 0 • f(t)e ‒st dt existiert und nennen die Funktion F: M f ¥ R , s ¦ F(s), die Laplace-Transformierte von f . Statt F schreiben wir oft L {f}. Für Funktionen f und g von R + nach R und reelle Zahlen c und d ist L {c·f + d·g} = c· L {f} + d· L {g}. Wenn f differenzierbar ist, dann ist L {f’}(s) = s· L {f}(s) – f(0). Sind a und d reelle Zahlen, g eine Funktion und f eine differenzierbare Funktion mit f(0) = d, die eine Lösung der Differentialgleichung y’ + a·y = g ist, dann ist L {f}(s) = L {g}(s) + d __ s + a . Wenn L (g) eine rationale Funktion ist, dann auch L {f}. Man zerlegt L {f} in Partialbrüche und versucht dann f mithilfe einer Tabelle zu bestimmen. Durch eine Funktion g: R 2 ¥ R und Zahlen a, b, y 0 ist die folgende Anfangswertaufgabe gegeben: „Berechne eine differenzierbare Funktion y von einem offenen Intervall, welches das abgeschlos- sene Intervall [a; b] enthält, nach R mit den Eigenschaften y(a) = y 0 und für alle reellen Zahlen t ist y’(t) = g(t, y(t))“. Mit dem expliziten Eulerverfahren berechnet man eine Näherung des Funktionswertes y(b) der gesuchten Funktion y an der Stelle b:  Wähle eine natürliche Zahl n (die Anzahl der Schritte) und Zahlen a = t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , …, t n = b mit a = t 0 < t 1 < t 2 < t 3 < … < t n – 1 < t n = b.  Beginne mit y(t 0 ) = y 0 .  Für i = 1, 2, …, n – 1 berechne der Reihe nach y i + 1 = y i + g(t i , y i )·(t i + 1 – t i ).  y n ist die gesuchte Näherung des Funktionswertes y(b) = y(t n ). Falls aufeinanderfolgende Zahlen t i und t i + 1 immer denselben Abstand h voneinander haben, nennt man h die Schrittweite des Verfahrens. Laplace-Trans- formierte einer Funktion Lösen einer linearen Anfangswert- aufgabe der Ordnung 1 mithilfe der Laplace-Trans- formation explizites Eulerverfahren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv