Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

213 Zusammenfassung: Differentialgleichungen Zusammenfassende Aufgaben 809 Untersuche, ob die Funktion y mit y(t) = 1 _ 2 t 2 + t eine Lösung der Anfangswertaufgabe y’ – 2y = s mit s(t) = 1 – t – t 2 und y(0) = 0 ist. 810 Berechne eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y’ + 5 y = 0 mit a. y(0) = 5, b. y(0) = ‒1. Skizziere die Graphen der Lösungen. 811 Frau Müller hat soeben eine Tablette mit 3g eines Wirkstoffes eingenommen. Die momentane Abbaurate des Wirkstoffs ist ungefähr das 0,25-Faches des vorhandenen Wirkstoffs. a. Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung den Abbau des Wirkstoffs im Körper von Frau Müller annähernd beschreibt. b. Löse die Anfangswertaufgabe und berechne die Masse des Wirkstoffes im Körper von Frau Müller nach 4 Stunden. c. Frau Müller hat gleichzeitig mit der Tablette ein deftiges Mittagessen gegessen. Der Abbau des Wirkstoffes verlangsamt sich durch das aufgenommene Fett und die Abbaurate verringert sich auf das 0,2-Fache des noch vorhandenen Wirkstoffs. Untersuche, wie sich die Aufgabe und deren Lösung ändert, und vergleiche die beiden Lösungen mithilfe eines Diagramms. 812 Ein schwingungsfähiges Feder-Masse-System mit Masse 150 kg und Federkonstante 35N/m schwingt frei ohne äußere Kraft und ohne Dämpfung. a. Gib eine Differentialgleichung an, die dieses System beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung aus Aufgabe a. , wenn sich zur Zeit 0 s die Masse in der Ruhe- lage befindet und die Geschwindigkeit der Masse 0,5m/s beträgt. c. Untersuche, wie sich das Verhalten des Systems ändert, wenn zur Zeit 0 s die Auslenkung der Masse 0,5m und die Geschwindigkeit der Masse 0m/s beträgt. 813 Löse die Anfangswertaufgabe y’ + 2·y = 5 mit y(0) = 2. 814 Auf einer Insel leben 2000 Menschen. Unter diesen breitet sich eine Krankheit aus, dabei ist die Zunahme der Erkrankten proportional zum Produkt der Anzahl der derzeit Kranken und der Anzahl der noch gesunden Personen. a. Finde eine Differentialgleichung, deren Lösung die Anzahl der erkrankten Personen beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung aus Aufgabe a. mit den Annahmen, dass zum Zeitpunkt 0 insgesamt 5 Personen erkrankt waren und nach einer Woche bereits 10 Personen krank sind. c. Stelle die Lösung von Aufgabe b. in einem Diagramm dar und beschreibe die Entwicklung der Erkrankungen. 815 Gib an, welche der Funktionen Lösungen der Differentialgleichung f’ – 3f = 0 sind. Begründe. A f mit f(t) = 3t B f mit f(t) = 3e 3t C f mit f(t) = e ‒3t D f mit f(t) = e 3t 816 Löse die Anfangswertaufgabe y’ – 4y = 2t mit y(0) = 2. 817 Ermittle die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ – 4y’ + 20y = s, wobei s die Funktion mit s(x) = 16sin(4x) + 4cos(4x) ist. 818 Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ – 1y’ + 1 _ 4 y = g mit g(x) = 1 _ 20 ·e ‒4x . C B A, B, C A, B, C B A, B, C C, D B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv