Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

214 Zusammenfassung: Differentialgleichungen 819 Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ + 2y’ – 3y = s, dabei ist s die Funktion mit s(x) = ‒ 6x 2 + 11x – 13. 820 Entsprechend der barometrischen Höhenformel ist die momentane Änderungsrate des Luft- drucks p proportional zum bestehenden Druck. a. Finde eine Differentialgleichung, die diesen Zusammenhang beschreibt. b. Löse diese Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn der Luftdruck auf Meereshöhe (h = 0) 1 013mbar und in 5500m Höhe die Hälfte des Drucks auf Meereshöhe beträgt. 821 Beim beschränkten Wachstum ist die momentane Änderungsrate eines Bestandes zum Zeit- punkt t proportional zur Differenz zwischen dem Maximalbestand K und dem Bestand zum Zeit- punkt t. a. Finde eine Differentialgleichung, die diesen Zusammenhang beschreibt. b. Löse diese Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn K = 500 und der Bestand zu Beginn bei 200 und nach einem Jahr bei 270 liegt. d. Argumentiere, wann der Bestand entsprechend der Lösung aus Aufgabe c. bei 500 liegt. 822 Ein Boot hat eine Masse von 800 kg und wird aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Kraft von 500N beschleunigt. Der Reibungswiderstand ist dabei proportional zur Geschwindigkeit v(t) des Bootes zu dieser Zeit. a. Finde eine Differentialgleichung für die Geschwindigkeitsfunktion v, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit des Bootes zu dieser Zeit zuordnet. b. Löse die Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn die Reibungskonstante k = 35 kg/s ist. d. Berechne mithilfe der Lösung von Aufgabe c. , wie schnell das Boot nach 15 s ist. 823 Ein schwingungsfähiges Feder-Masse-System mit Masse 50 kg und Federkonstante 60N/m schwingt frei ohne äußere Kraft und ohne Dämpfung. Die Funktion y ordnet jedem Zeitpunkt t den Abstand y(t) der Masse von der Ruhelage zur Zeit t zu. a. Gib eine Differentialgleichung an, deren Lösung y ist. b. Löse die Differentialgleichung aus Aufgabe a. , wenn y(0) = 0m und y’(0) = 0,2m/s ist. c. Untersuche, wie sich das Verhalten des Systems ändert, wenn die Anfangsbedingungen in Aufgabe b. zu y(0) = 0m und y’(0) = 0,3m/s verändert werden. 824 Löse die Anfangswertaufgabe y’’ + y’ – 2y = g mit g(x) = 2x + 1 a. mithilfe der Laplace-Transfor- mation, b. ohne Verwendung der Laplace-Transformation. 825 Auf einer kleinen Insel reicht das Nahrungsangebot für maximal 300 Robben. Die Lösung der Differentialgleichung f’ = k·f·(300 – f) beschreibt die Anzahl der auf der Insel lebenden Robben. a. Beschreibe die Differentialgleichung in Worten. b. Löse die Differentialgleichung, wenn zum Zeitpunkt 0 insgesamt 25 Robben und ein Jahr später 40 Robben auf der Insel leben. c. Stelle die Lösung von Aufgabe b. in einem Diagramm dar und beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Robben auf der Insel. B A, B A, B A, B A, B, C B A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv