Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

216 5.1 Konvergente Reihen Ich lerne zu überprüfen, ob eine gegebene Reihe konvergent oder divergent ist. Ich lerne für manche konvergente Reihen den Grenzwert zu berechnen. Reihen In den vergangenen Jahren haben wir Folgen, Reihen und ihre Grenzwerte kennengelernt. Erinnern wir uns: Eine Folge in R oder eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion f von N nach R . Der Funktionswert f(n) der natürlichen Zahl n heißt dann das n-te Folgenglied oder das Folgenglied mit Index n. Anstatt f(n) schreiben wir für das n-te Folgenglied oft f n . Für die Folge f: N ¥ R , n ¦ f n schreiben wir kurz einfach k f n l oder k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , … l . Statt f und n können wir auch beliebige andere Zeichen verwenden und eine Folge zum Beispiel mit k a i l oder mit k u k l bezeichnen. Allgemeiner kann man Folgen auch als Funktionen von N \{0, 1, …, m} nach R (m * N ) betrach- ten. Zum Beispiel gibt es viele Folgen, die „mit dem Index 1 beginnen“, deren Definitionsmenge also N \{0} ist. Eine Zahl a ist ein Grenzwert oder Limes der Folge k a n l , wenn es zu jeder positiven reellen Zahl ε eine natürliche Zahl m gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen n, die größer als m sind, der Abstand zwischen a n und a kleiner als ε ist, also |a n – a| < ε . Eine Folge k a n l ist konvergent , wenn sie einen Grenzwert hat. In diesem Fall sagen wir, dass die Folge gegen ihren Grenzwert konvergiert. Wir schreiben für „die Folge k a n l konvergiert gegen a“ kurz: lim n ¥ • a n = a. Sprechweise: „Der Limes (oder Grenzwert) der Folge k a n l für n gegen unendlich ist a“. Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann heißt sie divergent . Zu jeder Folge kann man ihre Reihe betrachten: Die Reihe einer Folge k a n l ist die Folge k a 0 , a 0 + a 1 , a 0 + a 1 + a 2 , …, a 0 + a 1 + a 2 + … + a n , … l . Das k-te Reihenglied der Reihe von k a n l ist also die Summe aller Folgenglieder von k a n l , deren Index kleiner oder gleich k ist. Statt a 0 + a 1 + a 2 + … + a k schreiben wir mit dem Summenzeichen kürzer ; i = 0 k a i . Die Folge k a n l nennt man die Folge der Summanden der Reihe k ; i = 0 k a i l und ihre Folgenglieder a n heißen die Summanden der Reihe . Wenn die Reihe der Folge k a n l konvergiert, schreiben wir für den Grenzwert der Reihe statt lim k ¥ • ; i = 0 k a i kurz ; i = 0 • a i . Sprich: „Summe der a i mit i von 0 bis unendlich.“ Die Reihe k ; i = 0 n a·q i l der geometrischen Folge k a·q n l heißt geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. Folge von reellen Zahlen Grenzwert oder Limes einer Folge konvergente Folge divergente Folge Reihe einer Folge geometrische Reihe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv