Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

217 5.1 Konvergente Reihen Die geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 ist. In diesem Fall ist ; i = 0 • a·q i = lim k ¥ • ; i = 0 k a·q i = a _ 1 – q . Weil Reihen Folgen sind, können wir das, was wir über die Konvergenz von Folgen bereits kennengelernt haben, nun speziell für Reihen formulieren: Die Summe von zwei konvergenten Reihen ist konvergent und der Grenzwert der Summe ist die Summe der Grenzwerte. Kurz: ; i = 0 • (a i + b i ) = ; i = 0 • a i + ; i = 0 • b i Die Differenz von zwei konvergenten Reihen ist konvergent und der Grenzwert der Differenz ist die Differenz der Grenzwerte. Kurz: ; i = 0 • (a i – b i ) = ; i = 0 • a i – ; i = 0 • b i Alle Vielfachen einer konvergenten Reihe sind konvergent und der Grenzwert der c-fachen Reihe ist das c-Fache des Grenzwertes der Reihe. Kurz: ; i = 0 • (c·a i ) = c· ; i = 0 • a i . 826 Zeige, dass die Reihe der Folge k 1 _ n(n + 1) l (wir beginnen hier mit n = 1 statt n = 0), also die Folge k ; i = 1 n 1 _ i(i + 1) l = k 1 _ 2 , 1 _ 2 + 1 _ 2·3 , 1 _ 2 + 1 _ 2·3 + 1 _ 3·4 , 1 _ 2 + 1 _ 2·3 + 1 _ 3·4 + 1 _ 4·5 , … , 1 _ 2 + 1 _ 2·3 + … + 1 _ n(n + 1) , … l , konvergiert und berechne ihren Grenzwert. Für alle positiven Zahlen i ist 1 _ i(i + 1) = 1 + i – i _ i(i + 1) = 1 + i _ i(i + 1) – i _ i(i + 1) = 1 _ i – 1 _ i + 1 . Daraus folgt ; i = 1 n 1 _ i(i + 1) = ; i = 1 n 2 1 _ i – 1 _ i + 1 3 = 2 1 – 1 _ 2 3 + 2 1 _ 2 – 1 _ 3 3 + 2 1 _ 3 – 1 _ 4 3 + 2 1 _ 4 – 1 _ 5 3 + … + 2 1 _ n – 1 _ n + 1 3 . Man sieht, dass alle Summanden bis auf den ersten und den letzten wegfallen. Daher ist k ; i = 1 n 1 _ i(i + 1) l = k 1 – 1 _ n + 1 l . Diese Folge konvergiert gegen 1. Somit ist ; i = 1 • 1 _ i(i + 1) = lim n ¥ • 2 1 – 1 _ n + 1 3 = 1. 827 Zeige, dass die Reihe k ; i = 0 n 2 5· 2 1 _ 2 3 i + 7· 2 2 _ 3 3 i 3 l konvergiert und berechne ihren Grenzwert. Die geometrischen Reihen k ; i = 0 n 2 1 _ 2 3 i l und k ; i = 0 n 2 2 _ 3 3 i l sind konvergent, ihre Grenzwerte sind 1 _ 1 – 1 _ 2 = 2 und 1 _ 1 – 2 _ 3 = 3. Daher sind auch die Reihen k ; i = 0 n 5· 2 1 _ 2 3 i l , k ; i = 0 n 7· 2 2 _ 3 3 i l und k ; i = 0 n 2 5· 2 1 _ 2 3 i + 7· 2 2 _ 3 3 i 3 l konvergent und der Grenzwert von k ; i = 0 n 2 5· 2 1 _ 2 3 i + 7· 2 2 _ 3 3 i 3 l ist 5·2 + 7·3 = 31. Grenzwert der geometrischen Reihe Grenzwerte von Summe, Differenz und Vielfachen von konvergenten Reihen mcd/tns p46q6c durch Umformen der Summanden zeigen, dass eine Reihe konvergiert und ihren Grenz- wert berechnen B, D durch Rechnen mit Reihen zeigen, dass eine Reihe konvergiert und ihren Grenz- wert berechnen B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv