Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

218 Funktionenreihen 828 Berechne den Grenzwert. a. ; i = 0 • 1 _ 4 i b. ; i = 0 • 2 4 _ 5 3 i c. ; i = 0 • 10 _ 3 i d. ; i = 0 • 0,2 2i 829 Berechne den Grenzwert der Reihe von k 1 _ 2 3 , 1 _ 2 4 , 1 _ 2 5 , …, 1 _ 2 n + 3 , … l . 830 Berechne den Grenzwert. a. ; i = 1 • 3 – i b. ; k = 1 • 1 __ (2k – 1)(2k + 1) c. ; m = 1 • 2 1 _ m 2 – 1 __ (m + 1) 2 3 d. ; t = 1 • 1 _ t(t + 2) 831 Ordne den geometrischen Reihen ihren Grenzwert ( A – D ) zu. A 5 B 3 C 1,5 D 1,4 a. k ; i = 0 n 1 _ 3 i l b. k ; i = 0 n 4 _ 5 i l c. k ; i = 0 n 2 i _ 3 i l d. k ; i = 0 n 2 2 _ 3 3 i l 832 Berechne den Grenzwert. a. ; i = 0 • 2 4· 2 1 _ 5 3 i + 1 _ 3 i 3 b. ; i = 0 • 2 4 _ 9 i – 2 4 _ 9 3 i 3 833 a. Begründe, ohne die Summe tatsächlich auszurechnen, warum die Summe 1 _ 5 + 1 _ 6 + 1 _ 7 + 1 _ 8 + 1 _ 9 größer als 1 _ 2 ist. b. Begründe, ohne die Summe tatsächlich auszurechnen, warum die Summe 1 _ n + … + 1 _ 2n – 1 größer als 1 _ 2 ist. c. Benutze Aufgabe b. , um zu beweisen, dass k ; i = 1 n 1 _ i l nicht konvergiert. Konvergenzkriterien Wir betrachten eine Folge reeller Zahlen k a n l = k a 0 , a 1 , a 2 , … l und ihre Reihe k a 0 , a 0 + a 1 , a 0 + a 1 + a 2 , …, a 0 + a 1 + a 2 + … + a n , … l . Mit k b n l bezeichnen wir die Folge k b n l = k 0, a 0 , a 1 , a 2 , …, a n – 1 , … l . Für n > 0 ist also das n-te Folgenglied von k b n l das (n – 1)-te Folgenglied von k a n l . Die Reihe von k b n l ist dann k 0, a 0 , a 0 + a 1 , a 0 + a 1 + a 2 , …, a 0 + a 1 + a 2 + … + a n – 1 , … l und die Differenz der Reihe von k a n l und der Reihe von k b n l ist die Folge k a n l . Es ist klar, dass die Reihen k a n l und k b n l entweder beide konvergent sind (und dann denselben Grenzwert haben) oder beide divergent sind. Wenn also die Reihe von k a n l konvergiert, dann auch die Reihe von k b n l . Die Differenz dieser zwei Reihen ist dann ebenfalls konvergent und der Grenzwert der Differenz ist die Differenz der Grenzwerte, also 0. Die Differenz der Reihen ist die Folge k a n l , also ist diese konvergent und hat den Grenzwert 0. Wir fassen das kurz zusammen: Wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die Folge ihrer Summanden gegen 0 konvergieren. Achtung Die Umkehrung gilt nicht! Es gibt Folgen, die gegen 0 konvergieren, aber deren Reihen nicht konvergieren. Ein Beispiel dafür ist die „harmonische Reihe“, die Reihe der Folge k 1 _ n l (n > 0). Diese Folge konvergiert gegen 0, die Summen ; i = 1 k 1 _ i ihrer Reihe können aber beliebig groß werden (siehe Aufgabe 833 c. ). B B B B, C B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv