Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

219 5.1 Konvergente Reihen Es gibt viele Kriterien, mit deren Hilfe entschieden werden kann, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Wir geben zwei davon ohne Begründung an und leiten daraus ein drittes ab: Leibniz-Kriterium: Konvergiert eine monoton fallende Folge k b n l nicht-negativer Zahlen gegen 0, dann ist die Reihe k ; i = 0 n (‒1) i b i l konvergent. Zum Beispiel folgt daraus, dass die „alternierende harmonische Reihe“ k ; i = 1 n (‒1) i + 1 1 _ i l = k 1, 1 – 1 _ 2 , 1 – 1 _ 2 + 1 _ 3 , 1 – 1 _ 2 + 1 _ 3 – 1 _ 4 , … l konvergiert. Man kann zeigen, dass ihr Grenzwert ln(2) ist. Eine Reihe k ; i = 0 k a i l heißt absolut konvergent , wenn die Reihe k ; i = 0 k |a i | l konvergent ist. Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann ist sie auch konvergent. Die Umkehrung gilt nicht, ein Gegenbeispiel ist die alternierende harmonische Reihe: Diese konvergiert, aber konvergiert nicht absolut. Majorantenkriterium : Mit k c n l bezeichnen wir eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, deren Reihe konvergiert. Wenn k a n l eine Folge von reellen Zahlen mit der Eigenschaft „für alle natür- lichen Zahlen n ist |a n | ª c n “ ist, dann konvergiert die Reihe von k a n l absolut und ; i = 0 • |a i | ª ; i = 0 • c i . Die Reihe von k c n l heißt dann eine Majorante der Reihe von k a n l . Wenn es für eine Folge k a n l eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt so, dass für alle n mit a n ≠ 0 | a n + 1 _ a n | ª q ist, dann folgt für alle n: |a n + 1 | ª |a n |·q ª |a n – 1 |·q 2 ª … ª |a 0 |·q n + 1 . Die geometrische Reihe mit Anfangsglied |a 0 | und Quotient q ist daher eine Majorante der Reihe von k a n l , also konvergiert die Reihe k ; i = 0 n a i l . Wir haben daher aus dem Majorantenkriterium ein weiteres Kriterium abgeleitet: Quotientenkriterium: Wenn es für eine Folge k a n l eine Zahl q mit 0 < q < 1 und eine natürliche Zahl m gibt so, dass für alle n º m mit a n ≠ 0 gilt: | a n + 1 _ a n | ª q, dann konvergiert die Reihe k ; i = 0 k a i l absolut. Falls lim n ¥ • | a n + 1 _ a n | existiert, folgt daraus:  Ist lim n ¥ • | a n + 1 _ a n | < 1, dann ist die Reihe k ; i = 0 k a i l absolut konvergent.  Ist lim n ¥ • | a n + 1 _ a n | > 1, dann ist die Reihe k ; i = 0 k a i l divergent. Leibniz- Kriterium absolute konvergente Reihen Majoranten- kriterium Quotienten- kriterium Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv