Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

220 Funktionenreihen 834 Zeige mit dem Majorantenkriterium, dass die Reihe k ; i = 1 n 1 _ i 2 l = k 1, 1 + 1 _ 4 , 1 + 1 _ 4 + 1 _ 9 , 1 + 1 _ 4 + 1 _ 9 + 1 _ 16 , … l konvergent ist. Für n > 0 ist n(n + 1) ª 2n 2 . Dividiert man auf beiden Seiten des Ungleichheitszeichens durch n(n + 1)n 2 , so erhält man 1 _ n 2 ª 2 _ n(n + 1) . Wir haben in Musteraufgabe 826 bereits gezeigt, dass die Reihe der Folge k 1 _ n(n + 1) l gegen 1 konvergiert, daher konvergiert auch die Reihe der Folge k 2 _ n(n + 1) l und hat den Grenzwert 2. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe der Folge k 1 _ n 2 l und 0 ª ; n = 1 • 1 _ n 2 ª ; n = 1 • 2 _ n(n + 1) = 2. 835 Finde, wenn möglich, eine passende Majorante ( A – D ) zu den gegebenen Reihen. A k ; i = 0 n 5· 2 3 _ 4 3 i l B k ; i = 1 n 1 _ i l C k ; i = 0 n 5 _ 2 i l D k ; i = 0 n 1 _ 3 i l a. k ; i = 0 n 1 _ 3 i + 1 l b. k ; i = 0 n 5· 3 i _ 4 i + i l c. k ; i = 1 n 1 _ 2i l d. k ; i = 0 n 5 _ 2 i + i l 836 Zeige mithilfe des Majorantenkriteriums, dass die Reihe konvergiert. a. k ; n = 1 k 1 _ n 3 l b. k ; n = 1 k n + 1 _ n 3 l c. k ; n = 1 k 1 _ n 2 – 1 l d. k ; n = 0 k 1 _ n 2 + 1 l Hinweis: Die Reihe k ; n = 1 k 1 _ n 2 l ist konvergent. 837 Zeige mithilfe des Majorantenkriteriums, dass die Reihe k ; n = 1 k n + 1 __ 2n 3 + n 2 + 5 l absolut konvergiert. Hinweis: Die Reihe k ; n = 1 k 1 _ n 2 l ist konvergent. 838 Zeige mit dem Quotientenkriterium, dass die Reihe k ; i = 0 k 1 _ i! l konvergent ist und dass ihr Grenzwert kleiner als 3 ist. Da alle Folgenglieder a i = 1 _ i! positiv sind, ist | a i + 1 _ a i | = a i + 1 _ a i = 1 _ (i + 1)! _ 1 _ i! = i! _ (i + 1)! = i! __ i!·(i + 1) = 1 _ i + 1 . Ab i = 1 ist dieser Quotient kleiner oder gleich 1 _ 2 < 1 und 1 _ (i + 1)! = a i + 1 ª a 1 · 2 1 _ 2 3 i – 1 = 2 1 _ 2 3 i – 1 . Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut konvergent ist. Es ist ; i = 0 • 1 _ i! = 1 + ; i = 1 • 1 _ i! ª 1 + ; i = 1 • 1 _ 2 i – 1 = 1 + ; i = 0 • 1 _ 2 i = 1 + 1 _ 1 – 1 _ 2 = 1 + 2 = 3. Wir müssen noch a 0 = 1 _ 0! = 1 addieren und erhalten ; i = 0 • 1 _ i! ª 1 + 2 = 3. 839 Zeige mithilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe k ; n = 1 k 3 n ·n! _ (3n)! l konvergiert. 840 Zeige mithilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe k ; i = 0 n 2 i _ i! l konvergiert und dass ihr Grenzwert kleiner als 8 ist. mit dem Majoranten- kriterium zeigen, dass eine Reihe konvergent ist D B D D mit dem Quotienten- kriterium zeigen, dass eine Reihe konvergent ist D D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv