Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

221 5.1 Konvergente Reihen 841 Entscheide mit dem Quotientenkriterium, ob die Reihe konvergent oder divergent ist. a. k ; i = 1 k n + 1 _ n·2 n – 1 l b. k ; i = 1 n 7 i _ i 7 l a. Da alle a n > 0 sind, können wir die Betragstriche weglassen und erhalten a n + 1 _ a n = n + 2 __ (n + 1)·2 n _ n + 1 _ n·2 n – 1 = n + 2 __ (n + 1)·2 n · n·2 n – 1 _ n + 1 = (n + 2)n __ (n + 1) 2 ·2 = n 2 + 2n __ 2n 2 + 4n + 2 und lim n ¥• 2 n 2 + 2n __ 2n 2 + 4n + 2 3 = lim n ¥• 2 n 2 _ n 2 + 2n _ n 2 __ 2n 2 _ n 2 + 4n _ n 2 + 2 _ n 2 3 = lim n ¥• 2 1 + 2 _ n __ 2 + 4 _ n + 2 _ n 2 3 = 1 _ 2 . Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent. b. Auch hier sind alle a n > 0. a n + 1 _ a n = 7 n+ 1 _ (n + 1) 7 _ 7 n _ n 7 = 7 n + 1 _ (n + 1) 7 · n 7 _ 7 n = 7· 2 n _ n + 1 3 7 und lim n ¥ • 2 7· 2 n _ n + 1 3 7 3 = 7· 2 lim n ¥ • 2 n + 1 _ n 3 3 7 = 7·1 7 = 7 > 1, also divergiert die Reihe. 842 Entscheide, ob die Reihe konvergiert. a. k ; i = 1 n 1 _ i i l b. k ; p = 1 n p _ 5 p l c. k ; r = 1 n r! _ 4 r l d. k ; n = 1 p (‒1) n _ 2n + 3 l 843 Entscheide mithilfe des Quotientenkriteriums, ob die Reihe konvergent oder divergent ist. a. k ; i = 0 n i 2 _ 2 i l b. k ; i = 0 n i 3 _ i! l c. k ; i = 0 n i! _ 10 i l d. k ; i = 0 n i _ 3 i l 844 Überprüfe, ob die Reihen konvergieren. a. k ; n = 1 k n + 1 _ n·2 n l b. k ; n = 1 k (‒1) n + 1 _ n 2 l c. k ; n = 1 k 1 _ 3 n – 1 l d. k ; n = 0 k 2 n _ 3 n + 1 l 845 Zeige mit dem Leibniz-Kriterium, dass die Reihe k ; n = 1 k (‒1) n + 1 _ 9 _ n l konvergiert. 846 Zeige, dass die Reihe k ; n = 0 k n – 1 _ n + 1 l divergiert. 847 Zeige, dass die Summe einer konvergenten und einer divergenten Reihe divergiert. Hinweis: Die Differenz von konvergenten Reihen ist wieder konvergent. 848 Gib zwei divergente Reihen an, deren Summe konvergiert. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann überprüfen, ob eine gegebene Reihe konvergent oder divergent ist. 849 Zeige mithilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe k ; n = 1 p 2 n ·(n + 1)! __ (2n)! l konvergiert. Ich kann für manche konvergente Reihen den Grenzwert berechnen. 850 Prüfe, ob die Reihe k ; i = 0 n 5· 1 _ 3 i + 3· 2 3 _ 4 3 i l konvergiert und berechne gegebenenfalls den Grenzwert. D mit dem Quotienten- kriterium entscheiden, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist C C C D D D A D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv