Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

222 5.2 Potenzreihen Ich lerne mit Taylorpolynomen näherungsweise Funktionswerte von beliebig oft differenzier- baren Funktionen zu berechnen. Ich lerne Potenzreihen kennen und in manchen Fällen ihren Konvergenzradius zu berechnen. Ich lerne mithilfe von Taylorpolynomen Integrale näherungsweise zu berechnen. Taylorpolynome Im 3. Jahrgang haben wir die erste, die zweite, …, die n-te Ableitung von n-mal differenzierbaren Funktionen kennengelernt. Ist f: R ¥ R eine solche Funktion, dann haben wir f in einer Umgebung von a zuerst durch die lineare Funktion g mit g(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) angenähert, dann besser durch die quadratische Funktion q mit q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + 1 _ 2 ·f’’(0)·(x – a) 2 . Zum Beispiel haben wir die Exponentialfunktion f mit f(x) = e x in einer Umgebung von 0 durch g mit g(x) = 1 + x und durch q mit q(x) = 1 + x + 1 _ 2 x 2 angenähert. Der Vorteil dieser Näherungen ist, dass die Funktionswerte der linearen oder quadratischen Funktion leichter berechnet werden können. Der Nachteil ist, dass man so nicht die Funktions- werte selbst, sondern eben nur Näherungen erhält. Bei der quadratischen Näherung steigt gegenüber der linearen der Aufwand zur Berechnung, aber auch die Genauigkeit. Kann man zur Verbesserung der Näherung die dritte, vierte, …, n-te Ableitung verwenden? Mit I bezeichnen wir ein offenes Intervall, eine offene Halbgerade oder ganz R , mit a eine Zahl in I und mit f: I ¥ R eine (n + 2)-mal differenzierbare Funktion. Die Polynomfunktion p mit p(x) = ; i = 0 n 1 _ i! f (i) (a)·(x – a) i = f(a) + f’(a)(x – a) + … + 1 _ n! ·f (n) (a)(x – a) n heißt n-tes Taylorpolynom von f in a. Wir bezeichnen sie mit T n, f, a . Für Zahlen a und x in I heißt die Zahl f(x) – T n, f, a (x) das n-te Restglied von f in a an der Stelle x, wir bezeichnen sie mit R n, f, a (x) . R n, f, a (x) = f(x) – T n, f, a (x), ist der Fehler, den wir machen, wenn wir statt f das n-te Taylorpolynom T n, f, a an der Stelle x auswerten. Man kann zeigen, dass es für alle x * I eine Zahl z zwischen a und x so gibt, dass R n, f, a (x) = 1 _ (n + 1)! f (n + 1) (z)(x – a) n + 1 ist. Damit kann man das n-te Restglied abschätzen. 851 Berechne das 5. Taylorpolynom der Exponentialfunktion f mit f(x) = e x in 0 und schätze den Fehler bei der Näherung des Funktionswertes f(1) = e 1 durch den Funktionswert des 5. Taylor- polynoms der Exponentialfunktion an der Stelle 1 ab. Die Ableitung und alle höheren Ableitungen von f an der Stelle 0 sind 1, daher ist für alle x T 5, f, 0 (x) = 1 + 1·x + 1 _ 2! ·x 2 + 1 _ 3! ·x 3 + 1 _ 4! ·x 4 + 1 _ 5! ·x 5 und T 5, f, 0 (1) = 1 + 1 + 1 _ 2! + 1 _ 3! + 1 _ 4! + 1 _ 5! = 163 _ 60 ≈ 2,7167. Das 5. Restglied ist R 5, f, 0 (1) = 1 _ 6! ·1·e z , dabei muss z zwischen 0 und 1 liegen. Wir wissen, dass f streng monoton wachsend, f(0) = 1 und e = f(1) < 3 ist. Also ist 1 < e z < 3 und das Restglied liegt zwischen 1 _ 6! = 1 _ 720 > 0,0013 und 3 _ 6! = 1 _ 240 < 0,0042. Daher ist 2,7167 + 0,0013 < e < 2,7167 + 0,0042 2,7180 < e < 2,7209. Taylorpolynom Restglied ggb/mcd/tns 7gy7id eine Näherung von e berechnen B Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv