Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

223 5.2 Potenzreihen 852 a. Berechne das 7. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Stelle 0. b. Schätze den Fehler bei der Näherung des Funktionswertes sin(0,5) mithilfe des Restgliedes ab. c. Zeichne die Graphen der Sinusfunktion und des in Aufgabe a. berechneten 7. Taylorpolynoms. a. Wir berechnen zunächst die ersten 7 Ableitungen der Funktion f mit f(x) = sin(x). f’(x) = cos(x), f’’(x) = ‒ sin(x), f’’’(x) = ‒ cos(x), f (4) (x) = sin(x), f (5) (x) = cos(x), f (6) (x) = ‒ sin(x), f (7) (x) = ‒ cos(x) Daher ist f’(0) = 1, f’’(0) = 0, f’’’(0) = ‒1, f (4) (0) = 0, f (5) (0) = 1, f (6) (0) = 0, f (7) (0) = ‒1. Das 5. Taylorpolynom ist daher die Funktion T 5, f, 0 mit T 5, f, 0 (x) = 1·x – 1 _ 6 x 3 + 1 _ 120 x 5 – 1 _ 5040 x 7 . b. Für R 7, f, 0 benötigen wir noch f (8) (x) = sin(x), und somit ist R 7, f, 0 (x) = 1 _ 8! sin(z)x 8 für eine Zahl z * [0; 0,5]. Da sin(z) sicher kleiner als 1 ist, muss R 7, f, 0 (0,5) < 1 _ 8! ·1·0,5 8 = 9,7·10 ‒8 sein. Der Fehler bei Näherung von sin(0,5) durch T 7, f, 0 (0,5) ist also kleiner als 10 ‒7 . c. Für die Grafik verwenden wir ein CAS und erhalten: 853 Berechne das 6. Taylorpolynom der Cosinusfunktion in 0 und schätze den Fehler bei der Näherung des Funktionswertes cos(1) durch den Funktionswert des 6. Taylorpolynoms an der Stelle 1 ab. 854 Berechne das 3. Taylorpolynom der Polynomfunktion f an der Stelle 1. a. f(t) = t 3 + 2t 2 – 3t – 4 b. f(x) = x 3 – x 2 + x – 1 c. f(u) = 1 + (u – 1) + (u – 1) 4 855 Bestimme das 3. Taylorpolynom der Funktion f an der Stelle 0. a. f(x) = sin(x) b. f(t) = e t c. f(r) = cos(r) d. f(s) = tan(s) 856 Gib das 4. Taylorpolynom an der Stelle 0 für die Funktionen aus Aufgabe 855 mithilfe eines geeigneten CAS an. 857 Gegeben ist die Funktion f: R ¥ R mit f(x) = e x . a. Berechne das 1., 2., 3. und 4. Taylorpolynom von f in 0. b. Stelle die Graphen der Taylorpolynome und der Funktion in einem Diagramm dar. c. Beschreibe, wie die Güte der Näherung vom Grad des Taylorpolynoms abhängt. 858 a. Finde das 3. Taylorpolynom der Funktion f mit f(x) = ln(x) in 1. b. Berechne dann für 1,5 und 2,5 jeweils näherungsweise den Funktionswert und vergleiche diesen mit dem tatsächlichen Funktionswert. c. Begründe mithilfe der Graphen der Funktion und der Näherung, warum der relative Fehler an der Stelle 2 größer als an der Stelle 1,5 ist. B ggb/mcd/tns 9r8m3a eine Näherung der Sinusfunktion berechnen x y 0 1 -1 - 2 2 - 4 - 5 4 5 3 2 1 - 3 - 2 -1 T 7,f,0 sin B B B B B, C B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv