Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

251 6.2 Partielle Ableitungen 963 Für alle Zahlenpaare (x, y) und (a, b) können die Funktionswerte f(x, y) der Funktion f in der Form f(x, y) = f(a, b) + c 1 ·(x – a) + c 2 ·(y – b) + u·(x – a) 2 + v·(y – b) 2 + w·(x – a)·(y – b) geschrieben werden. Finde die passenden Zahlen c 1 und c 2 . Begründe durch Rechnung. a. f(x, y) = x 3 + 2xy A c 1 = 3a 2 ; c 2 = 2a C c 1 = 3a 2 + 2b; c 2 = 2a B c 1 = 3a 2 + 2; c 2 = 2a D c 1 = 3a 2 + 2y; c 2 = 3 + 2a b. f(x, y) = 3x 2 + 2xy + y 2 A c 1 = 6a + 2; c 2 = 2a + 2b C c 1 = 6a + 2b; c 2 = 2a + 2b B c 1 = 6a; c 2 = 2a + b D c 1 = 6a + 2b; c 2 = 2b c. f(x, y) = x 2 y 2 A c 1 = 2a; c 2 = 2b C c 1 = 2ab; c 2 = 2ab B c 1 = 2ab 2 ; c 2 = 2a 2 b D c 1 = ab 2 ; c 2 = a 2 b d. f(x, y) = x 3 y 3 A c 1 = 3ab; c 2 = 3ab C c 1 = 3ab 3 ; c 2 = 3a 3 b B c 1 = 3a 2 b 2 ; c 2 = 3a 2 b 2 D c 1 = 3a 2 b 3 ; c 2 = 3a 3 b 2 Partielle Ableitungen als gewöhnliche Ableitungen Zu jeder Zahl a und jeder Funktion f in zwei Variablen erhalten wir die Funktion f (a, –) : R ¥ R , b ¦ f (a, –) (b) = f(a, b). Der Graph dieser Funktion kann als Durchschnitt des Graphen der Funktion f mit einer Ebene, nämlich der Menge aller Tripel, deren erste Komponente a ist, dargestellt werden. Zu jeder Zahl b und jeder Funktion f in zwei Variablen erhalten wir die Funktion f (–, b) : R ¥ R , a ¦ f (–, b) (a) = f(a, b). Der Graph dieser Funktion kann als Durchschnitt des Graphen der Funktion f mit einer Ebene, nämlich der Menge aller Tripel, deren zweite Komponente b ist, dargestellt werden. Schreiben wir eine Polynomfunktion f in der Form f(x, y) = f(a, b) + ∂ f _ ∂ x (a, b)·(x – a) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) + + u(x, y)·(x – a) 2 + v(x, y)·(y – b) 2 + + w(x, y)·(x – a)·(y – b) an, dann ist f (a, –) (y) = f(a, y) = = f(a, b) + ∂ f _ ∂ x (a, b)·(a – a) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) + u(a, y)·(a – a) 2 + + v(a, y)·(y – b) 2 + w(a, y)·(a – a)·(y – b) = f(a, b) + 0 + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) + 0 + v(a, y)·(y – b) 2 + 0. Die Ableitung von f (a, –) an der Stelle b ist dann f’ (a, –) (b) = lim y ¥ b 2 f(a, y) – f(a, b) __ y – b 3 = lim y ¥ b 2 f(a, b) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) + v(a, y)·(y – b) 2 – f(a, b) _______ y – b 3 = lim y ¥ b 2 ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) + v(a, y)·(y – b) 2 _____ y – b 3 = lim y ¥ b 2 ∂ f _ ∂ y (a, b) + v(a, y)·(y – b) 3 = ∂ f _ ∂ y (a, b). A, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv