Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

261 Zusammenfassung Eine Funktion von einer Teilmenge von R 2 nach R heißt reellwertige Funktion in zwei Variablen. Der Graph einer Funktion f in zwei Variablen ist eine Teilmenge von R 3 , und zwar {(x, y, f(x, y)) ‡ x, y * R }. Ist f eine reellwertige Funktion in zwei Variablen und c eine reelle Zahl, dann heißt die Lösungs- menge der Gleichung f(x, y) = c Niveaumenge von f zum Niveau c. Zu je drei reellen Zahlen a, b, c erhalten wir die Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = ax + by + c. Eine solche Funktion nennen wir eine lineare Funktion in zwei Variablen . Zu je zwei natürlichen Zahlen m und n erhalten wir die Funktion g: R 2 ¥ R mit g(x, y) = x m y n Wir nennen sie Potenzfunktion in zwei Variablen mit Exponenten m und n. Summen von Vielfachen von Potenzfunktionen nennen wir Polynomfunktionen (oder einfach Polynome ) in zwei Variablen . Eine reellwertige Funktion f in zwei Variablen heißt partiell nach x bzw. nach y an der Stelle (a, b) differenzierbar , wenn der Grenzwert lim z ¥ a 2 f(z, b) – f(a, b) __ z – a 3 bzw. lim z ¥ b 2 f(a, z) – f(a, b) __ z – b 3 existiert. Wir nennen dann diesen Grenzwert die partielle Ableitung von f nach x bzw. nach y an der Stelle (a, b) und schreiben dafür ∂ f _ ∂ x (a, b) bzw. ∂ f _ ∂ y (a, b) . Die Zahlen ∂ f _ ∂ x (a, b) oder ∂ f _ ∂ y (a, b) berechnen heißt f an der Stelle (a, b) partiell nach x oder nach y differenzieren . Für die partiellen Ableitungen gelten Summen-, Produkt und Quotientenregel analog zur gewöhnlichen Ableitung. Die lineare Funktion D f, (a, b) : R 2 ¥ R mit D f, (a, b) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (a, b)·x + ∂ f _ ∂ y (a, b)·y nennen wir das Differential von f an der Stelle (a, b) . Der Graph der Funktion h mit h(x, y) = f(a, b) + ∂ f _ ∂ x (a, b)·(x – a) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) = f(a, b) + D f, a, b (x – a, y – b) heißt Tangentialebene von f an der Stelle (a, b) . Ist f eine differenzierbare Funktion von R 2 nach R , die durch die Funktion h mit h(x, y) = f(a, b) + ∂ f _ ∂ x (a, b)·(x – a) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) in der Nähe der Stelle (a, b) gut angenähert wird und sind Δ a und Δ b kleine Zahlen, dann ist f(a ± Δ a, b ± Δ b) ≈ f(a, b) ± ∂ f _ ∂ x (a, b)· Δ a ± ∂ f _ ∂ y (a, b)· Δ b und ‡ f(a ± Δ a, b ± Δ b) – f(a, b) ‡ ≈ | ∂ f _ ∂ x (a, b)· Δ a + ∂ f _ ∂ y (a, b)· Δ b | = | D f, (a, b) ( Δ a, Δ b) | . Die Fehler Δ a und Δ b bei der Bestimmung von a und b pflanzen sich beim Auswerten von f umso stärker fort, je größer | ∂ f _ ∂ x (a, b)· Δ a + ∂ f _ ∂ y (a, b)· Δ b | ist. reellwertige Funktion in zwei Variablen partielle Ableitungen Differential Tangential- ebene Fehler- fortpflanzung Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv