Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

264 7.1 Kryptographie Ich lerne mein Wissen über das Rechnen mit Resten auf Fragen der Kryptographie anzuwenden. Ich lerne Eigenschaften von Primzahlen kennen, mit deren Hilfe Reste von Potenzen rasch berechnet werden können. Ich lerne den RSA-Algorithmus kennen. Die Kryptographie (aus den griechischen Worten kryptos (verborgen) und graphein (schreiben) gebildet) befasst sich mit der Sicherung von Daten gegen Abhören oder Änderungen durch Dritte. Zu diesem Zweck werden die Daten verschlüsselt und nur die Personen, die den „Schlüssel“ kennen, können sie entschlüsseln und dann lesen oder bearbeiten. Um nicht von Person A und Person B sprechen zu müssen, werden in der Kryptographie häufig die Namen Alice und Bob verwendet. Bob möchte Alice eine Nachricht, den Klartext , schicken und möchte nicht, dass jemand anderer die Nachricht lesen kann. Dazu verschlüsselt er den Klartext, das heißt, er verändert den Klartext auf bestimmte Weise zu einem Geheimtext und schickt ihn Alice. Alice muss nun wissen, wie man den Geheimtext entschlüsselt , das heißt, ihn wieder in den Klartext zurückverwandelt. Wir nehmen zur Vereinfachung in diesem Abschnitt an, dass ein Text in geeigneter Form durch Zahlen dargestellt wird. Zum Beispiel könnten die Buchstaben des Alphabets von A bis Z durch die Zahlen 00, 01, …, 25 dargestellt werden. Oder man fasst mehrere Buchstaben, zum Beispiel jeweils vier, zu einer Zahl zusammen. Das Wort „oder“ wird dann durch die achtstellige Zahl 14030417 dargestellt. Es genügt daher, sich zu überlegen, wie man Zahlen verschlüsseln kann. Tauschchiffren Wir nehmen an, dass wir alle unsere Nachrichten mit den Zahlen 0, 1, …, n – 1 beschreiben können. Zum Beispiel: Wenn wir nur die Buchstaben des Alphabets verwenden, können wir n = 26 nehmen. Wenn wir im Text auch Leerzeichen, Beistriche, Punkte, Rufzeichen und Frage- zeichen verwenden wollen, nehmen wir n = 31. Erinnern wir uns an den 3. Jahrgang: Mit z mod n bezeichnen wir den Rest einer ganzen Zahl z nach Division mit Rest durch eine positive ganze Zahl n. Wir schreiben Z n für die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis n – 1. Beim Verschlüsseln durch Tauschchiffren ordnen wir jeder Zahl in Z n genau eine andere Zahl zu. Beim Entschlüsseln muss daraus wieder eindeutig die ursprüngliche Zahl gefunden werden können, die Verschlüsselung muss also umkehrbar sein. Ein Verfahren zur Verschlüsselung durch Tauschchiffren ist durch eine umkehrbare Funktion f: Z n ¥ Z n gegeben. Eine Zahl a verschlüsseln heißt f(a) berechnen. Eine Zahl b entschlüsseln , heißt f ‒1 (b) berechnen. Wählen wir a in Z n , dann ist die Funktion Z n ¥ Z n , z ¦ (z + a) mod n, umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion ist Z n ¥ Z n , z ¦ (z – a) mod n. Das entsprechende Verschlüsselungsverfahren heißt Verschiebung um a. Es wurde angeblich schon von Julius Cäsar verwendet, daher nennt man es auch Cäsarverschlüsselung . Klartext verschlüsseln Link 5i8n75 Geheimtext entschlüsseln Verschlüsselung durch Tauschchiffren ggb 8y47t9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv