Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

266 Diskrete Mathematik Verschlüsselungen mit Tauschchiffren sind einfach durchzuführen, haben aber den Nachteil, dass man die Tauschchiffre leicht berechnen kann, sobald man zwei Zahlen im Text errät. Errät man zwei Zahlen im Text, so kann man die Tauschchiffre berechnen. Wenn man zum Bei- spiel weiß, dass für n = 100 die Zahl 7 zu 43 und die Zahl 47 zu 3 verschlüsselt wurde, dann muss (7b + a) mod 100 = 43 und (47b + a) mod 100 = 3 sein. Daraus kann man, ähnlich wie bei Systemen von linearen Gleichungen, die Zahlen a und b berechnen. Wie kann man aber zwei Zahlen im Text erraten? Zum Beispiel weiß man, dass in deutschen Texten der Buchstabe e am häufigsten und der Buch- stabe n am zweithäufigsten ist. Wenn der Geheimtext länger ist, kann man die zwei häufigsten Buchstaben heraussuchen. Es liegt dann nahe, dass durch diese e und n verschlüsselt wurden. In der Praxis werden Tauschchiffren daher kaum mehr verwendet. 1023 Bestimme die Umkehrfunktion zu f: Z n ¥ Z n , f(z) = (b·z + a) mod. a. n = 9, a = 4, b = 7 b. n = 11, a = 5, b = 4 c. n = 13, a = 8, b = 7 1024 a. Verschlüssele die Zahlen 7, 47 und 87 mit der Tauschchiffre (10, 19) für n = 100. b. Entschlüssele die Zahlen 5, 45 und 90, die mit derselben Tauschchiffre verschlüsselt wurden. a. Es ist (19·7 + 10) mod 100 = 43, (19·47 + 10) mod 100 = 3 und (19·87 + 10) mod 100 = 63. Der Geheimtext besteht aus den Zahlen 43, 3 und 63. b. Zum Entschlüsseln berechnen wir mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Zahlen u und v mit u·19 + v·100 = 1 und erhalten: u = 79, v = ‒15. Es ist (79·95) mod 100 = 5, (79·35) mod 100 = 65 und (79·80) mod 100 = 20. Der Klartext besteht aus den Zahlen 5, 65 und 20. 1025 Verschlüssle Caesars berühmt gewordene Worte: „Ich kam sah und siegte“ durch Verschiebung um a. 1, b. 10, c. 15, d. 20. 1026 Die folgenden Nachrichten wurden durch Verschiebung verschlüsselt. Knack den Code. a. HTCECPQQPYFYDXZYELRYLNSXTEELR. b. QZMNXCGPZNNZGPIBZINXCPZOUZIYDZKMDQVONKCVZMZ 1027 Die in diesem Kapitel vorgestellten Verschlüsselungsmethoden sind ohne technische Hilfsmittel sehr mühsam durchzuführen. Wir werden uns in den folgenden Aufgaben die Rechenarbeit von Excel abnehmen lassen. Erkundige dich zu diesem Zweck im Hilfemenü über die richtige Verwen- dung der Funktionen „VERWEIS“, „REST“ und „WENN“. Probiere diese Funktionen an jeweils einem selbst gewählten kleinen Beispiel aus. 1028 Auf Mathematik HTL-Online findet ihr die Excel-Datei Caesar-Demo.xls. Findet heraus, wie dieses Programm die Verschlüsselung berechnet. Jeder verfasst dann eine kurze geheime Nachricht, die er mit einem selbst gewählten Schlüssel verschlüsselt. Verratet den Schlüssel nicht. Die anderen Gruppenmitglieder müssen versuchen, euren Code zu knacken. Wem gelingt das am schnellsten? 1029 Verschlüssele die Zahlen 35, 36 und 48 mit der Tauschchiffre (a, b) für n = 91. a. (a, b) = (5, 1) b. (a, b) = (0, 3) c. (a, b) = (13, 8) d. (a, b) = (60, 23) 1030 Entschlüssele die Zahlen 5, 45 und 90, die mit der Tauschchiffre (a, b) für n = 91 verschlüsselt wurden. a. (a, b) = (5, 1) b. (a, b) = (0, 3) c. (a, b) = (13, 8) d. (a, b) = (60, 23) 1031 Wir stellen die Buchstaben des Alphabets von A bis Z durch die Zahlen 0, 1, …, 25 dar. Verschlüssele mit der Tauschchiffre mit Schlüssel (a, b) den Text „guten morgen“ (n = 26). a. (a, b) = (4, 1) b. (a, b) = (0, 3) c. (a, b) = (13, 5) d. (a, b) = (10, 23) B xls jk2uc6 B Texte mit Tauschchiffren mit Schlüssel (a, b) verschlüsseln und entschlüsseln B B B xls b38jb9 B, C Material jy2m9y B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv