Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

285 7.3 Schaltalgebra Ich lerne Schaltungen durch ihre Schaltfunktionen zu beschreiben. Ich lerne Normalformen von Schaltfunktionen kennen. Ich lerne Schaltungen mit gegebener Schaltfunktion zu finden. Schaltungen und Schaltfunktionen In einem Auto soll ein Warnton erklingen, wenn das Licht eingeschaltet ist, aber der Autoschlüs- sel abgezogen und die Tür offen ist. Welche Schaltung muss eingerichtet werden, um das zu erreichen? Die Lampe im ersten Stock eines Stiegenhauses kann von Schaltern im Erdgeschoß, ersten Stock und zweiten Stock bedient werden. Wie müssen die Elektroleitungen zwischen den Schaltern und der Lampe gelegt werden, wenn sich der Zustand der Lampe (leuchtet oder leuchtet nicht) bei jedem Druck auf einen der drei Schalter ändern soll? Mit der Lösung solcher Aufgaben beschäftigt sich die Schaltalgebra . Eine Schaltung besteht aus mehreren Schaltern, Leitungen einer Stromquelle und einem Verbraucher (zum Beispiel einer Lampe), an dem man sieht, ob Strom fließt oder nicht. Diese zwei möglichen Zustände des Verbrauchers beschreiben wir durch die Zahlen 0 (Strom fließt nicht) und 1 (Strom fließt). Die Schalter haben auch zwei Zustände: „aus“ und „ein“, auch diese bezeichnen wir mit 0 und 1. Den Zustand von n Schaltern beschreiben wir daher durch n-Tupel, deren Komponenten 0 oder 1 sind. Zum Beispiel bedeutet (0, 0, 1), dass wir drei Schalter betrachten, von denen die ersten zwei Schalter auf „aus“ und der dritte auf „ein“ steht. Statt Schaltungen können auch elektronische Bauteile mit n Eingängen und einem Ausgang betrachtet werden. Die Menge der möglichen Zustände von n Schaltern ist {0, 1} n , also die Menge aller n-Tupel von Elementen aus {0, 1}. Je nachdem, wie die Leitungen einer Schaltung verlaufen, entspricht jedem Zustand von n Schaltern ein Zustand des Verbrauchers. Ebenso entspricht jedem Zustand von n Eingängen genau ein Zustand des Ausgangs eines elektronischen Bauteils. Diese Zuordnung können wir durch eine Funktion von {0, 1} n nach {0, 1}, die Schaltfunktion der betrachteten Schaltung oder des elektronischen Bauteils, beschreiben. Diese Funktion wird zumeist durch eine Wertetabelle, ihre Schaltwerttabelle , beschrieben. Bei einer Serienschaltung einer Stromquelle, einer Lampe und von zwei Schaltern fließt genau dann Strom durch die Lampe, wenn durch beide Schalter Strom fließen kann. Die Lampe hat also nur dann den Zustand 1, wenn beide Schalter im Zustand 1 sind. Für die Schaltfunktion K: {0, 1} 2 ¥ {0, 1} bedeutet das: K(0, 0) = 0, K(1, 0) = 0, K(0, 1) = 0, K(1, 1) = 1. Man erhält K(a, b) auch, indem man a mit b multipliziert. Schaltung 0 1 & Schaltfunktion Schaltwert- tabelle a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv