Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

288 Diskrete Mathematik 1086 Bestimme die Wertetabelle der Schaltfunktion der Schaltung. Normalformen von Schaltfunktionen Wenn man eine Lampe mit zwei Schaltern ein- oder ausschalten kann, dann möchte man haben: Wenn die Lampe leuchtet bzw. nicht leuchtet und ich ändere den Zustand eines der zwei Schal- ter, dann soll die Lampe nicht mehr leuchten bzw. wieder leuchten. Wir wollen also eine Schaltung mit der folgenden Schaltfunktion f: a b f(a, b) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Sobald es uns gelingt, f als Schaltfunktion von in Serie oder parallel geschalteten Schaltern zu interpretieren, kennen wir auch die Schaltung. Wir lernen nun zwei Methoden kennen, das zu tun. Zuerst beobachten wir: Aus der Tabelle a b a ? b a ? (¬b) (¬a) ? b (¬a) ? (¬b) (a ? (¬b)) = ((¬a) ? b) 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 sehen wir: Für alle (a, b) ist f(a, b) = (a ? ¬b) = ((¬a) ? b). Die Schaltung kann zum Beispiel so realisiert werden: oder Auf gleiche Weise können wir für alle (a, b) und jede Schaltfunktion g von {0, 1} 2 nach {0, 1} den Funktionswert g(a, b) durch = -Verknüpfungen von (a ? b), (a ? ¬b), ((¬a) ? b), ((¬a) ? (¬b)) darstellen. Wir suchen dazu alle Paare (a, b) mit g(a, b) = 1 und schreiben a ? b, a ? (¬b), (¬a) ? b oder (¬a) ? (¬b) an, je nachdem ob (a, b) = (1, 1), (1, 0), (0, 1) oder (0, 0) ist. Dann erhalten wir g(a, b) durch Verbindung aller angeschriebenen Elemente mit = . Allgemein gilt: Jede Schaltfunktion f: {0, 1} n ¥ {0, 1} kann in der Form f(a 1 , a 2 ,…, a n ) = (c 11 ? c 21 ? … ? c n1 ) = … = (c 1k ? c 2k ? … ? c nk ) angeschrieben werden, dabei ist c ij = a i oder ¬a i (für alle i und j). Man erhält zu jedem n-Tupel (x 1 , …, x n ) mit f(x 1 , …, x n ) = 1 eine der Komponenten c 1j ? c 2j ? … ? c nj , indem man c ij = a i wählt, wenn x i = 1 ist und c ij = ¬a i , wenn x i = 0 ist. Diese Darstellung einer Schaltfunktion heißt ihre disjunktive Normalform . Sie ermöglicht es, zu einer gegebenen Schaltfunktion eine entsprechende Schaltung als Parallelschaltung von Serien- schaltungen anzugeben. A ¬ c b b a a ¬ b c a b ¬ a a b ¬ b disjunktive Nor- malform einer Schaltfunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv