Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

289 7.3 Schaltalgebra 1087 Drei Maschinen sind mit je einem Schalter verbunden. Wenn eine Maschine arbeitet, wird der entsprechende Schalter auf 1 geschalten. Es sollen nicht mehr als eine Maschine zugleich arbeiten, daher soll ein Warnlicht aufleuchten, wenn mindestens zwei Maschinen arbeiten. Ermittle eine entsprechende Schaltung. Aus der Aufgabenstellung folgt, dass die Schaltfunktion die folgende Wertetabelle haben soll: a b c Warnlicht 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Nur wenn höchstens ein Schalter auf 1 steht, leuchtet das Warnlicht nicht auf. Die Schaltfunktion hat an den Stellen (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1) und (0, 1, 1) den Funktionswert 1. Also ist f(a, b, c) = (a ? b ? c) = (a ? b ? ( ¬ c)) = (a ? (¬b) ? c) = ((¬a) ? b ? c) die disjunktive Normalform. Eine Schaltung mit dieser Schaltfunktion sieht so aus: Die zweite Methode, eine Schaltung zu einer gegebenen Schaltfunktion zu finden, verwendet die „konjunktive Normalform“ einer Schaltfunktion: Jede Schaltfunktion f: {0, 1} n ¥ {0, 1} kann in der Form f(a 1 , a 2 , …, a n ) = (c 11 = c 21 = … = c n1 ) ? … ? (c 1k = c 21 = … = c nk ) angeschrieben werden, dabei ist c ij = a i oder ¬a i (für alle i und j). Man erhält zu jedem n-Tupel (x 1 , …, x n ) mit f(x 1 , …, x n ) = 0 eine der Komponenten c 1j = c 2j = … = c nj , indem man c ij = a i wählt, wenn x i = 0 ist und c ij = ¬a i , wenn x i = 1 ist. Diese Darstellung einer Schaltfunktion heißt ihre konjunktive Normalform . Sie ermöglicht es, zu einer gegebenen Schaltfunktion eine entsprechende Schaltung als Serienschaltung von Parallel- schaltungen anzugeben. 1088 Bestimme die konjunktive Normalform der Schaltfunktion f aus Musteraufgabe 1087 und ermittle eine entsprechende Schaltung. Die Funktion f hat an den Stellen (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) den Funktionswert 0. Also ist f(a, b, c) = (a = b = c) ? ((¬a) = b = c) ? (a = (¬b) = c) ? (a = b = (¬ c)). Eine Schaltung mit dieser Schaltfunktion sieht so aus: eine Schaltung ermitteln A, B a b c a b ¬ c a ¬ b c ¬ a b c konjunktive Normalform einer Schalt- funktion Schalter richtig einrichten A a b c a b ¬ c a ¬ b c ¬ a b c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv