Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

291 7.4 Lineare Optimierung Ich lerne Probleme aus Alltag und Wirtschaft durch lineare Optimierungsaufgaben mit zwei Unbekannten zu modellieren, solche Modellierungen kritisch zu beurteilen und graphisch zu lösen. Aus den Rohstoffen R 1 , R 2 , und R 3 können zwei Produkte A und B hergestellt werden. Der Bedarf an den jeweiligen Rohstoffen ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Der Reingewinn für ein Stück von A beträgt 20€ und der für ein Stück von B 30€. Wie viel Stück sollten jeweils herge- stellt werden, damit der Gewinn maximal ist? Rohstoff Bedarf für A Bedarf für B Vorrat R 1 1 kg 2 kg 120 kg R 2 4 kg 3 kg 330 kg R 3 1 kg 4 kg 200 kg Wie wir das schon von anderen Textaufgaben kennen, fragen wir zuerst, was gesucht ist. Wir suchen zwei Zahlen: die herzustellende Stückzahl von A und die herzustellende Stückzahl von B. Wir nennen diese Zahlen x und y und schreiben sie als Zahlenpaar (x, y). Nun schreiben wir die Eigenschaften von (x, y), die im Text verlangt werden, an. Wenn wir x Stück von A und y Stück von B herstellen, brauchen wir x + 2y kg vom Rohstoff R 1 . Wir haben davon aber nur 120 kg, also muss x + 2y ª 120 sein. Dieselben Überlegungen für die Rohstoffe R 2 und R 3 ergeben die Bedingungen 4x + 3y ª 330 und x + 4y ª 200. Da x und y Stückzahlen sind, muss x º 0 und y º 0 sein. Das gesuchte Zahlenpaar muss also in der Lösungsmenge des folgenden Systems linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten enthalten sein: I) 1x + 2y ª 120 II) 4x + 3y ª 330 III) 1x + 4y ª 200 IV) x º 0 V) y º 0 Diese Lösungsmenge nennt man den zulässigen Bereich . Ein Zahlenpaar (a, b) ist genau dann darin enthalten, wenn die Herstellung von a Stück von A und b Stück von B mit den vorhandenen Rohstoffvorräten möglich ist. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eines Systems von linearen Ungleichungen der Durchschnitt von Halbebenen ist und wie man sie zeichnen kann. Nun haben wir einen guten Überblick über alle Möglichkeiten der Produktion und können jenes Paar von Stückzahlen suchen, das den größten Gewinn liefert. Wir wissen: Das Paar (1, 0), also die Herstellung von 1 Stück A, liefert den Gewinn 20€, das Paar (0, 1) den Gewinn 30€. Link s4y7r6 ggb p6d9dt y x 0 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv