Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

292 Diskrete Mathematik Können wir dann sagen, welchen Gewinn die Herstellung von zum Beispiel 7 Stück A ergibt? Vielleicht 7·20 = 140€, vielleicht aber auch nicht. Jede Firma weiß, dass sich der Gewinn in der Regel nicht verdoppelt, wenn sie ihre Produktion verdoppelt. Wenn der Markt mit einem Produkt „überschwemmt“ wird, verfällt der Preis. Falls wir den Gewinn nach der Herstellung von 4 Stück A, also von (4, 0), und den nach der Herstellung von 3 Stück B, also von (0, 3) kennen, ist dann der Gewinn nach der Produktion von 4 Stück von A und 3 Stück von B, also von (4, 3), die Summe der Gewinne nach getrennter Produk- tion? Auch das ist nicht sicher. Wenn die Kunden zum Beispiel das Produkt A besser als Produkt B empfinden, dann beeinträchtigt die Produktion von A den Gewinn bei der Produktion von B. Wir müssen daher zusätzliche Annahmen treffen, um den Zusammenhang von hergestellten Produkten und Gewinn in dieser Aufgabe beschreiben zu können. Diesen Zusammenhang beschreiben wir durch die Funktion Z: R 2 ¥ R , die jedem Zahlenpaar (a, b) den Gewinn bei der Produktion von a Stück von A und b Stück von B zuordnet. Der Buchstabe Z steht für „ Zielfunktion “. Wir nehmen nun an, dass die Zielfunktion Z: R 2 ¥ R die folgenden Eigenschaften hat: Für alle Zahlen a, b, t ist Z(ta, tb) = t·Z(a, b), also: Wenn wir doppelt, dreifach, t-fach so viel produzieren, haben wir den doppelten, dreifachen, t-fachen Gewinn. Für alle Zahlenpaare (a, b) ist Z(a, b) = Z(a, 0) + Z(0, b), also: Wenn wir die zwei Produkte A und B gemeinsam produzieren, ist der Gewinn die Summe des Gewinns, den wir gemacht hätten, wenn wir nur A produziert hätten und des Gewinns, wenn wir nur B produziert hätten. Wenn wir diese Annahmen für die Funktion Z treffen, dann sagen wir, dass sie eine homogene lineare Funktion von R 2 nach R ist. Wann sind diese Annahmen sinnvoll? Zum Beispiel, wenn die Abnahme der Produkte von vorne herein gesichert ist. Oder, wenn nur kleine Veränderungen der Produktion betrachtet werden: Die Annahme, dass sich der Gewinn bei doppelter Produktion verdoppelt, ist nicht sinnvoll. Die Annahme, dass der Gewinn um 3% steigt, wenn die Produktion um 3% erhöht wird, scheint schon realistischer zu sein. Aus rechnerischer Sicht sind diese Annahmen auf jeden Fall sinnvoll: Sie vereinfachen die Lösung der Aufgabe erheblich. Können wir nach diesen Annahmen den Funktionswert Z(a, b) berechnen? Wegen (a, b) = (a, 0) + (0, b) ist Z(a, b) = Z((a, 0) + (0, b)) = Z(a, 0) + Z(0, b) = = a·Z(1, 0) + b·Z(0, 1) = 20a + 30b. Wir suchen nun (x, y) im zulässigen Bereich so, dass 20x + 30y möglichst groß ist. Überlegen wir uns: Die Menge der Paare (a, b) von Stückzahlen, die den Gewinn 300€ liefern, ist {(a, b) ‡ 20a + 30b = 300}, die Menge der Paare (a, b) von Stückzahlen, die den Gewinn 600€ liefern, ist {(a, b) ‡ 20a + 30b = 600}. Wir wissen bereits, dass das zwei Geraden sind, die zueinander parallel sind und können sie einzeichnen, indem wir zuerst die Gerade durch (0, 0) und (‒ 30, 20) zeichnen und sie dann zum Beispiel in die Punkte (0, 300/30) = (0, 10) bzw. (0, 600/30) = (0, 20) verschieben. homogene lineare Funktion von R 2 nach R y x 100 0 20 40 60 optimaler Punkt 80 - 20 40 - 20 - 40 60 (0 1 20) (0 1 10) verschieben Nl. 600 € Nl. 300 € Nur zu Prüfz ecken – Eigentum des Verlags öbv