Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

293 7.4 Lineare Optimierung Solche Geraden, deren Punkte alle denselben Funktionswert bezüglich Z liefern, nennen wir Niveaulinien von Z. Wenn Z wie in unserem Beispiel einen Gewinn beschreibt, nennt man sie auch Iso-Gewinn-Geraden . (Das Wort „iso“ kommt aus dem Griechischen und bedeutet „gleich“. Alle Punkte auf der Iso- Gewinn-Geraden führen zum gleichen Gewinn). Wenn der Funktionswert Z(a, b) positiv ist und s, t positive Zahlen mit s < t sind, dann ist Z(s·(a, b)) = s·Z(a, b) < t·Z(a, b) = Z(t·(a, b)), das heißt: Wenn wir auf der positiven Halbgeraden von (0, 0) durch (a, b) und weiter gehen, wird der Funktionswert bezüglich Z immer größer. In unserem Fall ist zum Beispiel Z(1, 1) = 50 eine positive Zahl. Wenn wir die Gerade durch (0, 0) und (‒ 30, 20) auf der Halbgeraden von (0, 0) durch (1, 1) und weiter verschieben, dann wird der Funktionswert bezüglich Z immer größer. Wir verschieben die Gerade parallel so weit, dass gerade noch ein Punkt des zulässigen Bereichs darauf liegt. Jeder Punkt, der auf dieser Geraden und im zulässigen Bereich liegt, kommt dann als Lösung in Frage. Solche Punkte nennen wir optimale Punkte für unsere Aufgabe. In unserem Fall gibt es genau einen optimalen Punkt. Wir lesen aus der Zeichnung ab, dass er ungefähr (60, 30) ist. Um den Punkt genauer zu bestimmen, lesen wir aus der Zeichnung ab, dass sich im optimalen Punkt die Geraden, die Rand der Lösungsmengen der Ungleichungen I und II sind, schneiden. Diesen Schnittpunkt berechnen wir als Lösungsmenge des Systems linearer Gleichungen: I) 1x + 2y = 120 II) 4x + 3y = 330 | II – 4·I und erhalten als Lösung (x, y) = (60, 30). Wir haben also genau abgelesen. Den größten Gewinn erzielt die Firma, wenn sie 60 Stück von Produkt A und 30 Stück von Produkt B herstellt. Eine lineare Optimierungsaufgabe mit zwei Unbekannten ist durch ein System linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten gegeben. Dessen Lösungsmenge heißt zulässiger Bereich , und eine homogene lineare Funktion Z von R 2 nach R , diese heißt Zielfunktion . Gesucht ist ein optimaler Punkt , das ist ein Zahlenpaar im zulässigen Bereich, dessen Funktions- wert bezüglich Z möglichst groß ist. Wir haben im Beispiel ein graphisches Verfahren kennengelernt, einen optimalen Punkt zu finden. Es hat genau einen optimalen Punkt gegeben. Es kann aber auch sein, dass es keinen optima- len Punkt gibt, zum Beispiel wenn der zulässige Bereich leer ist oder wenn die Zielfunktion auf dem zulässigen Bereich beliebig große Funktionswerte hat. Niveaulinie Iso-Gewinn- Gerade optimaler Punkt lineare Optimierungs- aufgabe zulässiger Bereich Zielfunktion optimaler Punkt x y Nl. von 0 kein optimaler Punkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv