Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

294 Diskrete Mathematik Es kann aber auch viele optimale Punkte geben, dann können wir uns einen davon aussuchen. 1096 Eine lineare Optimierungsaufgabe ist durch das System linearer Ungleichungen I) 8x + 7y º 112 II) ‒7x + 8y ª 128 III) ‒7x + 8y º ‒ 98 und die homogene lineare Funktion Z: R 2 ¥ R , (a, b) ¦ 9a – 20b gegeben. Ermittle einen optimalen Punkt und den Wert der Zielfunktion in diesem Punkt. Wir zeichnen zuerst den zulässigen Bereich als Durchschnitt von 3 Halbebenen ein. Die Niveaulinie von Z durch (0, 0) ist die Gerade {(a, b) ‡ 9a – 20b = 0}, also die Gerade durch (0, 0) und (20, 9). Weil Z(1, 0) = 9·1 – 20·0 = 9 > 0 ist, verschieben wir die die Gerade {(a, b) ‡ 9a – 20b = 0} so lange von (0, 0) in Richtung (1, 0) und weiter, wie noch ein Punkt des zulässigen Bereiches auf der verschobenen Geraden liegt. Aus der Zeichnung lesen wir ab: Der optimale Punkt ist ungefähr (14, 0). Er ist der Schnittpunkt der Geraden {(a, b) ‡ 8a + 7b = 112} und {(a, b) ‡ ‒7a + 8b = ‒98}, also die Lösung des Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten I) 8x + 7y = 112 II) ‒7x + 8y = ‒98 Als Lösung dieses Systems erhalten wir (14, 0), wir haben also genau abgelesen. Der optimale Punkt ist (14, 0). Z(14, 0) = 126 Tipp In manchen Aufgaben wird nicht nach dem größten, sondern dem kleinsten Funktionswert der Ziel- funktion im zulässigen Bereich gesucht. Wenn zum Beispiel die Produktion so ausgeführt werden soll, dass der Energieverbrauch minimal wird oder möglichst wenig schädliche Abgase in die Umwelt gelangen sollen. Das graphische Verfahren kann entsprechend angepasst werden. x y optimale Punkte: Strecke AB A B Nl. von 0 tns 82w52z einen optimalen Punkt berechnen B x y (14 1 0) (0 1 16) x y (20 1 9) Nl. von 0 x y Nl. von 0 optimaler Punkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv