Physik compact, Basiswissen 7, Schulbuch

38 Gravitation 14 Arbeit und Gravitationspotenzial Wir berechnen die Arbeit, die beim Verschieben eines Körpers in einem Gravitationsfeld nötig ist. Die Gravi- tationskraft nimmt mit zunehmender Entfernung zum Erdmittelpunkt ab – sie kann nur für kleine Höhen- differenzen als konstant angenähert werden. Für die Gesamtarbeit berechnen wir daher die Summe einzel- ner Beiträge, bei denen die Arbeit aus dem Produkt F ( r ) · ( r 2 – r 1 ) = F ( r ) · D r berechnet werden kann: W F r r i i n D = ^ h / W … Arbeit F ( r i )… Gravitationskraft im Abstand r i D r … (gleich bleibende) Höhendifferenz Diese Summe wird mit Hilfe des bestimmten Integrals nach r berechnet: d E F r r p r r 1 2 $ = ^ h # F ( r ) … Kraftfeld Im Gravitationsfeld hängt diese Arbeit nur vom An- fangspunkt r 1 und vom Endpunkt r 2 der Bahnkurve ab. Die Arbeit ist von der Form der Bahnkurve unabhängig. Für die potenzielle Energie berechnen wir die Arbeit beim Verschieben eines Körpers „aus dem Unendli- chen“ bis zu einer bestimmten Höhe r 0 : d E F r r p r 0 $ = 3 ^ h # F r G r M m 2 $ $ = ^ h M …Masse des Zentralkörpers m …Masse des Körpers r 0 …Abstand des Körpers vom Massenmittelpunkt des Zentralkörpers d E G r M m r G r M m G r M m p r r 2 0 0 0 $ $ $ $ $ $ $ ; = =- =- 3 3 # Dividieren wir die potenzielle Energie E p durch die Masse m , so erhalten wir das Potenzial: d U a r r r 0 $ = 3 ^ h # a r r G M 2 $ = ^ h a ( r )… Gravitationsfeldstärke d U G r M r G r M G r M r r 2 0 0 0 $ $ $ ; = =- =- 3 3 # Umgekehrt können wir durch Differenzieren aus der potenziellen Energie E p die Gravitationskraft F, aus dem Potenzial U die Gravitationsfeldstärke a berechnen: 14.2.6 E r G r M m $ $ =- ^ h potenzielle Energie E r G r M m F 2 $ $ = = l ^ h Gravitationskraft U r G r M $ =- ^ h Gravitationspotenzial U r G r M a 2 $ = = l ^ h Gravitationsfeldstärke A1 Berechne die Fluchtgeschwindigkeit für den Ab- schuss einer Sonde von der Erdoberfläche! A2 Berechne die Fluchtgeschwindigkeit für den Ab- schuss einer Sonde von der Mondoberfläche und ver- gleiche mit dem Ergebnis der vorigen Aufgabe! Das Gravitationspotenzial kann nicht alle Eigenschaf- ten und Beobachtungen im Gravitationsfeld erklären. Zunächst nicht erklärbare Abweichungen konnten erst durch die Allgemeine Relativitätstheorie be- schrieben werden. Beispiel Fluchtgeschwindigkeit einer Weltraumsonde Die Gesamtenergie eines Satelliten setzt sich aus seiner kinetischen Energie E k und seiner potenziel- len Energie E p zusammen: E = E k + E p Soll die Sonde ihre Bindung an den Zentralkörper überwinden, muss sie eine positive Gesamtenergie aufweisen: 0, mv G r M m v r G M 2 2 2 $ $ $ 2 2 - Soll sich die Sonde andauernd vom Zentralkörper entfernen, so muss sie eine Bahngeschwindigkeit von mindestens r G M 2 $ aufweisen. Diese Geschwindigkeit wird als Fluchtge- schwindigkeit bezeichnet. + Abb. 38.1 Die bisher größte Rakete ist die „Saturn V“ der USA. Sie besaß eine Höhe von 110,6m, eine Start- masse von 2934,8 t und einen Startschub von 33 851 kN. Sie wurde für den Flug zumMond eingesetzt. BW8/K20.7 + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv