Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

23 20.5 Äquivalenz von Energie und Masse Gedankenexperiment 1. Wir betrachten ein Teilchen, das im Inertialsys- tem I ruht. Die Gesamtenergie des Teilchens im System I ist E 0 . 2. Ein Inertialsystem I ´ bewegt sich relativ zu I mit der Geschwindigkeit v. Für die Gesamtenergie E 0 ´ des Teilchens in I ´ muss auch die kinetische Energie des Teilchens E k0 ´ berücksichtigt werden, weil sich das Teilchen in I ´ mit einer Geschwindigkeit vom Betrag v bewegt: E 0 ´ = E 0 + E k0 ´ 3. Das Teilchen sendet nun 2 gleichartige Photo- nen mit der Energie D E = 2 . h . f so aus, dass es im System I weiter in Ruhe verharrt. Im System I ´ kommt es aufgrund der Relativge- schwindigkeit v zu einer Dopplerverschiebung. Die Frequenzen der beiden Photonen ändern sich entsprechend den Gleichungen für die Dopplerver- schiebung. Damit ergibt sich in I ´ auch ein anderer Wert für die abgestrahlte Energie D E ´: E h f c v c v c v c v 1 1 1 1 0 0 0 0 $ $ D = + - + - + l J L K K K N P O O O Der Klammerausdruck lässt sich vereinfachen zu: E c v E 1 0 2 2 D D = - l D E ´ … abgestrahlte Energie in I ´ D E … abgestrahlte Energie in I v …Relativgeschwindigkeit von I und I ´ c 0 …Vakuumlichtgeschwindigkeit A1 Rechne nach! 4. Die Gesamtenergie verteilt sich im System I nach der Abstrahlung der Photonen auf die Energie des Teilchens E 1 und die Energie der Photonen D E . Da- bei gilt der Energieerhaltungssatz: E 0 = E 1 + D E 5. Die Gesamtenergie verteilt sich in I ´ ebenfalls auf die Energie des Teilchens und die Energie der Photonen. Bei der Energie des Teilchens muss auch seine kinetische Energie berücksichtigt werden. Man erhält für die Gesamtenergie in I ´ nach der Aussendung der Photonen: E E E E c v E 1 1 k k 0 0 1 0 2 2 D + = + + - l l A2 Gib an, was die einzelnen Terme bedeuten! Rech- ne nach! Die kinetische Energie des Teilchens hat sich aus der Sicht des Systems I ´ bei der Aussendung der Photo- nen geändert: E E h f c v 2 1 1 1 k k 0 1 0 2 2 $ $ $ - = - - l l f p E k0 ´ … kin. Energie des Teilchens in I ´ vor der Aussendung der Photonen E k1 ´ … kin. Energie des Teilchens in I ´ nach der Aussendung der Photonen 2 . h . f … Strahlungsenergie in I , 2 . h . f = D E v … Relativgeschwindigkeit von I und I ´ c 0 … Vakuumlichtgeschwindigkeit A3 Rechne nach! Den Klammerausdruck kann man in eine Potenzrei- he von v 2 / c 0 2 entwickeln (s. S. 18 A4 ). Unter Vernach- lässigung der Glieder 4ter und höherer Ordnung ergibt sich: E E c E v 2 k k 0 1 0 2 2 $ $ D - = l l A4 Rechne nach! Für die Änderung der klassischen kinetischen Ener- gie ergibt sich: E m v c E v 2 2 k 2 0 2 2 $ $ $ D D D = = l Daraus folgt D E = D m . c 0 2 Interpretation: Durch das Abstrahlen der Energie D E hat sich die Masse des Teilchens um D m verrin- gert. Diese Masse steckt in den Photonen, die die Energie D E aufweisen. y x y’ x’ I I’ v Teilchen ruht in I I’ I bewegt sich relativ zu Abb. 23.1 y x y’ x’ I I’ v Teilchen bleibt nach dem Aussenden der Photonen in in Ruhe. I I’ I bewegt sich relativ zu Abb. 23.2 BW8/S18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv