Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

41 21.4 Teilchen im Quantenkäfig Teilchen im Quantenkäfig A1 Wiederhole das Bohr´sche Atommodell und nen- ne die Erfolge und die Misserfolge des Modells! Die Anwendung des Bildes der Materiewellen von de Broglie auf schwerere Atome als Wasserstoff führt im Prinzip auf die gleichen Schwierigkeiten wie das Bohr´sche Modell. Eine wesentliche Verbesserung der Quantentheorie wurde 1925 durch den Österreicher Erwin Schrödinger (Nobelpreis 1933) erreicht, indem er eine Gleichung formulierte, mit deren Hilfe man die Amplitude } der Wahrscheinlichkeitswelle auch für komplexe Situationen berechnen kann ( Schrödin- gergleichung, Schrödinger equation ). Ähnlich wie die Newton´schen Axiome wird die Schrödingergleichung nicht aus irgendwelchen Grundgesetzen hergeleitet, vielmehr gehört sie selbst zum Fundament der Quantenmechanik. Da die Quantenmechanik heute nahezu in allen Berei- chen der modernen Physik eine dominierende Rolle spielt, ist die Schrödingergleichung zu einer Grund- gleichung der Physik geworden. Sie wird immer dann angewendet, wenn man quantitative Aussagen über Systeme mit Quanteneigenschaften benötigt. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Berei- che, in denen die Schrödingergleichung angewendet wird: Die Schrödingergleichung erfordert auch für relativ einfache Probleme ein mathematisches Rüstzeug, das weit über die an höheren Schulen vermittelten Kennt- nisse hinausgeht. Wir beschäftigen uns daher hier nur mit einem ganz besonders einfachen Fall, um so zumindest einen kleinen Eindruck über das Arbeiten innerhalb der Quantenphysik zu erhalten. A2 Wiederhole die Begriffe potentielle Energie und Potential! 21.4 Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf Ziel der folgenden Überlegungen ist es, die mögli- chen Energiezustände und zugehörigen Wahrschein- lichkeitswellen eines Teilchens zu zeigen, das sich nur entlang einer Strecke l aufhalten kann. Einige Erkennt- nisse, die wir an diesem einfachen System erwerben, lassen sich auch auf reale Systeme anwenden. Ein stabiler Zustand des Teilchens innerhalb des un- endlich hohen Potentialtopfs ist dann gegeben, wenn sich entlang der Strecke l eine stehende Materiewel- le mit der Elongation } ( x ) ausbildet. Aus der Schrödin- gergleichung lassen sich die zulässigen Formen der Wellenfunktion } ( x ) berechnen. Die einfachsten Formen solcher stehender Wahr- scheinlichkeitswellen sind in Abb. 41.2 dargestellt. Im Grundzustand entspricht die Länge des Potenti- altopfes l einer halben Wellenlänge der Materiewelle ( l = m /2). In den angeregten Zuständen entspricht l einem ganzzahligen Vielfachen von m /2. Nummeriert man die stehenden Wellen vom Grundzustand mit n = 1 ausgehend durch, dann ergibt sich für den n-ten Anregungszustand l = n · m /2. 21.4.1 Elektronenhülle Chemie Elektronen im Kristall Festkörperphysik Halbleiterphysik Atomkern Kernphysik Kerntechnik Astrophysik Elementarteilchen Astrophysik Hochenergiephysik Kosmologie Abb. 41.1 Bei einem Potential, das einem unendlichen, recht- eckigen Potentialtopf entspricht, ist die potentielle Energie eines Teilchens im Inneren des Potentialtopfes (entlang der Strecke l) null. Außerhalb der Strecke ist das Potential unendlich groß. Das Teilchen kann daher in diesen Bereich nicht eindringen, weil dazu unendlich viel Energie nötig wäre. Energie E p 0 0 l x Abb. 41.2 Die Abbildung zeigt die Form der Wellenfunktion zu den Quantenzahlen n = 1, 2, 3 und 4. Durch Quadrieren er- hält man die Verteilung der Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Wahrscheinlich- keitswellen  Aufenthaltswahrschein- lichkeitsdichten |  | 2 0 l 0 l n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Quanten- zahl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv