Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

43 B LEHRSATZ DES PYTHAGORAS 2 Kathetensatz und Höhensatz 3 Beweise für den Satz von Pythagoras Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC ( γ = 90° ) kennt man die Längen der Kathete a = 58,5 cm und des Hypotenusenabschnitts p = 35,1 cm . Berechne die Längen der Seiten b und c ! Verwende den Kathetensatz: a 2 = Forme um: c = Setze ein und rechne: c = cm Nach dem Satz von Pythagoras gilt: b 2 = Daraus folgt b = cm Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC ( γ = 90° ) kennt man die Längen der Hypotenusenabschnitte p = 20,8 cm und q = 11,7 cm . Berechne die Höhe h = h c und die Längen der drei Seiten! Verwende den Höhensatz: h 2 = Setze ein und rechne: h = cm Aus c = p + q folgt c = cm . Um a und b zu berechnen, kannst du zB den Kathetensatz verwenden: Aus a 2 = folgt a = cm , aus b 2 = folgt b = cm Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Satz von Pythagoras! Setze zunächst für a und b ein: a 2 + b 2 = Setze dann für c ein: c 2 = Die beiden Werte müssen übereinstimmen. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC ( γ = 90° ) kennt man die Länge der Seite a = 46,8 cm und die Höhe h = h c = 18,0 cm . Berechne die Längen der Seiten und c ! Im rechtwinkligen Teildreieck DBC gilt ( Ô Abbildung oben) p 2 = . Daraus folgt p = cm . Forme den Höhensatz h 2 = Setze ein und rechne: q = cm Außerdem gilt c = p + q Ô c = , sowie b 2 = Ô b = cm Schneide acht kongruente rechtwinklige Dreiecke aus (Katheten a , b , Hypote- nuse c )! Zeichne dann zwei quadratische Rahmen mit der Seitenlänge (a + b) und lege in jedem dieser Rahmen vier der Dreiecke so wie rechts abgebildet auf! Wie groß sind die Flächeninhalte der beiden frei bleibenden Quadrate inner- halb des oberen Rahmens? A 2 = Begründe: Das frei bleibende Viereck im unteren Rahmen ist ebenfalls ein Quadrat, weil Q Für seinen Flächeninhalt gilt: A 3 = Daraus folgt unmittelbar der Satz von Pythagoras, weil Beweise den Satz des Pythagoras für den Sonderfall des rechtwinklig- gleichschenkligen Dreiecks mit Hilfe von Geodreiecken: Lege ein Geo- dreieck auf die Tischplatte und gruppiere acht weitere deckungsgleiche Geodreiecke so wie in der Figur links! Führe den Beweis fort! H 2 4 A D c a b q p h B C 5 H 2 H 2 6 H 4 7 a a b b A 1 A 2 a a b b A 3 H 4 8 Nur Q Q zu Prüfzwecken . b cm – Eigentum 1 = , A des Verlags um: q = öbv