Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

45 B LEHRSATZ DES PYTHAGORAS 4 Anwendungen in ebenen Figuren Beschreibe mit Hilfe der Zeichnung, wie man die Höhe und den Flächen- inhalt des gleichseitigen Dreiecks berechnen kann, ohne die Formeln aus Aufgabe 13 ) zu verwenden! Ergänze: Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in . Man kann daher den Satz von anwenden: h 2 = und damit h berechnen. In jedem Dreieck gilt: „Flächeninhalt = Seite mal “. Man erhält daher den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a und der Höhe h durch A = . Ein Spiegel hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks ( Ô Figur). Rafael meint, dass er die Höhe und die Größe der Spiegelfläche (inneres Sechseck) berechnen kann, wenn er die Kantenlänge a kennt. Er sagt: „Das regelmäßige Sechseck setzt sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a zusammen. Ich berechne mit der Formel für das gleichseitige Dreieck den Flächeninhalt und die Höhe eines die- ser Dreiecke und kann dann auf die Größe der Spiegelfläche schließen.“ Hat Rafael Recht? Begründe deine Antwort! Von einem Rhombus ABCD kennt man die Seite a = 15,6 cm und die Diagonale e = 28,8 cm . Berechne a) die Länge der Diagonale f , b) den Flächeninhalt c) die Höhe h und d) den Inkreisradius a) Im Rhombus bilden die beiden Diagonalen einen rechten Winkel. Im Dreieck ABM gilt daher a 2 = Forme um und berechne f ! ( f __ 2 ) = ; f = cm b) Den Flächeninhalt des Rhombus kannst du mit Hilfe der Diagonalen berechnen. Es gilt die Formel A = . Setze ein: A = cm 2 c) Um die Höhe zu berechnen, kannst du die Flächeninhaltsformel verwenden, die für jedes Parallelogramm gilt, also auch für den Rhombus! A = Forme um und setze ein! ; h ≈ cm d) Der Inkreisradius ist so groß wie die des Rhombus. Daraus folgt ρ ≈ cm . Abdeckplatten, zB für die Wetterseite von Gartenhäusern, sind oft rhomben- förmig. Wie groß ist der Flächeninhalt und wie lang sind die Diagonalen einer solchen Platte, die 45 cm Kantenlänge ( a ) hat und 36 cm hoch ( h a ) ist? Für den Flächeninhalt gilt A = a · h a Ô A = cm 2 . Verwende die Zeichnung rechts und berechne zunächst die Länge der mit x bezeichneten Strecke: x 2 = Ô x = cm Für die Länge der Diagonale e gilt: e 2 = Ô e = cm ≈ cm Für die Länge der Diagonale f gilt: f 2 = Ô f = cm ≈ cm Speichere jeweils den vom TR ermittelten exakten Wert für die Diagonalenlängen ab! Berechne zur Kontrolle den Flächeninhalt der Platte auch mit Hilfe dieser gespeicherten Werte! A = Ô A = cm 2 H 4 14 A a a a h B C 15 H 1 h a H 2 16 A a a a a B C D e M f H 2 17 A a a a a B C D e h a h a x x f Nur U U h zu D D Prüfzwecken ρ ! 2 – Eigentum D D h = s s des . D D Verlags A , öbv