Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

47 B LEHRSATZ DES PYTHAGORAS 5 Prisma und Pyramide Leite mit Hilfe der Figuren rechts Formeln für die Längen der Flächendiagonalen d 1 , d 2 , d 3 und der Raumdiagonale d des Quaders her! Die Flächendiagonale d 1 ist eines rechtwink- ligen Dreiecks mit den Katheten und . Es gilt daher d 1 2 = und d 1 = . In gleicher Weise gilt d 2 2 = und d 2 = . Ebenso gilt d 3 2 = und d 3 = . Die Raumdiagonale d ist eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten und . Es gilt daher d 2 = = und d = . Von einem Quader kennt man die Kantenlängen a = 7,2 cm , b = 13,5 cm und c = 21,0 cm Berechne a) die Längen der Flächendiagonalen und die Länge der Raumdiagonale, b) das Volumen und c) die Oberfläche des Quaders! a) Verwende die Ergebnisse aus Aufgabe 21 und setze ein! d 1 = cm , d 2 = cm , d 3 = cm ≈ cm ; d = cm ≈ cm b) V = Ô V = cm 3 c) O = Ô O = cm 2 a) Begründe, wieso die Flächendiagonalen d 1 , d 2 und des Würfels alle gleich lang sind! b) Leite mit Hilfe der Figur rechts die Formeln für die Flächendiagonale und für die Raumdiagonale d des Würfels her (verwende Aufgabe d 1 2 = = Ô d 1 = d 2 = = Ô d = Von einem Würfel kennt man das Volumen V = 592,704 cm 3 . Berechne a) die Kantenlänge a des Würfels, b) die Längen der Flächendiagonale d 1 und der Raumdiagonale d und c) die Oberfläche des Quaders! a) V = = a = Setze ein und rechne: a = cm b) Verwende die Ergebnisse aus Aufgabe und setze ein! d 1 = cm; d = cm ≈ cm c) O = Ô O = Eine 86 , 0 cm lange Stahlschiene hat als Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge Ô Figur rechts). Berechne a) das Volumen, b) die Oberfläche und c) die Masse der Stahl- schiene! Die Dichte von Stahl beträgt ρ = 7800 kg/m 3 . a) V = G · h G = A gleichseitiges Dreieck = a 2 __ 4 · √ __ 3 Ô G ≈ cm 2 Die Höhe h des Prismas entspricht der der Stahlschiene. Ô V ≈ cm 3 b) O = 2 · G + M Die Mantelfläche M besteht aus Rechtecken mit den Seitenlängen cm und cm . M = cm 2 Ô O ≈ cm 2 c) Für die Masse gilt: Masse = Volumen mal Dichte (m = V · ρ ) Rechne zunächst das Volumen in m 3 um: V = cm 3 = dm 3 = m 3 Setze dann ein: m = · 7800 = Ô m ≈ kg H 4 21 a c b d 1 d 2 d 3 a c b d 1 d H 4 22 H 4 23 a a a d d 1 24 H 2 25 H 2 a a a Nur cm ≈ zu Ô Prüfzwecken d 3 L L = = – . Eigentum 23 cm 2 a = 9,5 cm ( des Verlags L L d 1 21 )! öbv