Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

48 B LEHRSATZ DES PYTHAGORAS 5 Prisma und Pyramide Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide (= quadratische Pyra- mide) kennt man die Grundkante a = 4,8 cm und die Pyramidenhöhe h = 4,5 cm . Berechne a) den Rauminhalt, b) die Seitenflächenhöhe h 1 , c) die Ober- fläche und d) die Länge der Seitenkante s ! a) Die Formel für den Rauminhalt (das Volumen) der Pyramide lautet V = G · h ____ 3 , wobei für die Grundfläche gilt G = . Setze ein und rechne: G = cm 2 Ô V = cm 3 b) Die Höhe h 1 der Seitenfläche kannst du aus dem rechtwinkligen Dreieck SFE ermitteln ( Ô Figur). Es gilt: h 1 2 = Setze ein und rechne: h 1 = cm c) Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M zusammen. Der Mantel besteht aus vier Dreiecken. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks kann durch A = berechnet werden. Setze ein und rechne: A = cm 2 Ô M = cm 2 Ô O = cm 2 d) Die Länge der Seitenkante s kannst du zB mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks ermitteln ( Ô Figur). Es gilt s 2 = . Setze ein und rechne: s = cm Ein Turm hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche. Das Turmdach ist eine quadra- tische Pyramide. Wie groß sind a) die Dachfläche b) der Rauminhalt dieser Pyramide, wenn die Seitenkanten des Daches s = 16,5 m und die Seitenflächenhöhe h 1 = 13,2 m lang sind? a) Die Dachfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide. Um ihren Flächeninhalt berechnen zu können, benötigt man die Länge der Grundkante a der Pyramide. Diese kannst du mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks ECS ermitteln ( Figur oben). Es gilt = . Setze ein und berechne a: a = M = 4 · Ô M = m 2 Die Dachfläche ist rund m 2 groß. b) Für den Rauminhalt ( = Volumen) benötigt man die Körperhöhe h der Pyramide. Diese kannst du zB mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks FES ermitteln ( Ô Figur oben): h 2 = Ô h = m Aus V = G · h ____ 3 folgt, dass der Rauminhalt der Pyramide rund m 3 groß ist. Eine regelmäßige sechsseitige Pyramide soll rund 6 m hoch werden und 30 m 3 Rauminhalt haben. a) Wie lang muss die Grundkante der Pyramide sein? Aus V = G · h ____ 3 folgt für die Grundfläche G = . Setze ein: G = m 2 Die Grundfläche ist ein regelmäßiges , das sich aus gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist daher rund m 2 groß. Forme die Flächeninhaltsformel für das gleichseitige Dreieck um, setze ein und berechne a : a = m Die Grundkanten der Pyramide müssen rund m lang sein. b) Beschreibe einen Weg, wie man die Länge der Seitenkante s der regelmäßigen sechsseitigen Pyramide berechnen kann, wenn man die Länge ihrer Grundkante a und die Körperhöhe h kennt! Die Seitenkante s , die Körperhöhe h und die halbe Grundflächendiagonale bilden ein Dreieck. Die halbe Grundflächendiagonale ist genau so lang wie die . Man kann s daher folgendermaßen ermitteln: s 2 = Setze für h und a die Werte aus Aufgabe a) ein und rechne: s ≈ cm H 2 26 a s A B C E S D h F h 1 a 2 a 2 H 2 27 H 2 28 a a a s S h Nur zu Prüfzwecken und M Ô m – Eigentum des a · h h 1 _____ 2 Verlags ECS ( a __ 2 ) 2 öbv