Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

57 E ERWEITERUNG UND VERTIEFUNG 1 Beweisen in der Geometrie 1–4: Ergänze den Beweis für den angesprochenen Sachverhalt! Wähle dazu aus den jeweils angegebe- nen Begriffen die zutreffenden aus! Satz über die Winkelsumme im Dreieck: Der in der Abbildung einfach gekennzeichnete Winkel, der seinen Scheitel im Punkt C hat, ist ein gleich großer zu α , der gekennzeichnete Winkel ist ein W W Parallelwinkel zu . Mit γ zusammen ergeben der einfach und der doppelt gekennzeichnete Winkel einen Winkel. Man kann daher „sehen“, dass α + β + γ = ergibt. Jeder Punkt der Streckensymmetrale s AB ist von den Endpunkten A und Strecke gleich weit entfernt. Die Dreiecke APH und sind auf Grund des -Satzes . Sie haben die Seite gemeinsam und stimmen im Winkel bei und in den Seitenlängen von AH und überein. Daher müssen die Seiten AP und gleich lang sein. A BH B H BP BHP HP P kongruent Seiten-Winkel-Seiten Seiten-Seiten-Seiten rechten Winkel-Seiten-Winkel Konstruiere die beiden Streckensymmetralen s PQ und s und be- schrifte ihren Schnittpunkt mit X ! Die dritte Streckensymmetrale s QR muss ebenfalls durch X verlaufen. Alle Punkte auf der Streckensymmetrale s PQ sind von und Q entfernt. Alle Punkte auf der Streckensymmetrale s PR sind von gleich weit entfernt. Daher muss ihr Schnittpunkt X von gleich weit entfernt sein. Da alle Punkte, die von Q und R gleich weit entfernt sind, auf ihrer Streckensymmetrale liegen, muss X auch auf der s QR liegen. Der Punkt X ist der des Dreiecks PQR . Seinen Abstand von den Punkten und R nennt man den . gleich weit Schnittpunkt Inkreismittelpunkt Streckensymmetrale P, Q und R P und R s PQ s QR s PR Umkreisradius Umkreismittelpunkt Jeder Punkt der Winkelsymmetrale w α ist von den Schenkeln a und b des Winkels α gleich weit entfernt. Die Dreiecke ASP und sind auf Grund des -Satzes . Sie haben die Seite gemeinsam und besitzen jeweils sowohl einen Winkel als auch einen Winkel der Größe . Daher muss auch die Seite AP genau so lang wie die Seite sein ( ___ Pa = ). α __ 2 BP ASB ___ Pb PS kongruent PSB SBP rechten Seiten-Winkel-Seiten Seiten-Seiten-Seiten Winkel-Seiten-Winkel H 4 1 gleich großer gestreckten α γ β doppelt Parallelwinkel Normalwinkel 90° rechten 180° 360° A B C P H 4 2 R P Q H 4 3 A S P B w H 4 4 Nur e e zu Prüfzwecken B der t t – Eigentum e b b P , Q des PR t t P Verlags t t A öbv H s AB B