Reichel Das ist Mathematik 4, Arbeitsheft

58 E ERWEITERUNG UND VERTIEFUNG 1 Beweisen in der Geometrie 5–6: Ergänze den Beweis für den angesprochenen Sachverhalt! Wähle dazu aus den jeweils angegebe- nen Begriffen die zutreffenden aus! Konstruiere die Winkelsymmetralen der beiden Winkel ∢ pq und ∢ pr und beschrifte ihren Schnittpunkt mit X ! Die Winkelsymmetrale des Winkels ∢ qr muss ebenfalls durch den Punkt X verlaufen. Alle Punkte auf der Winkelsymmetrale von ∢ pq sind von den Geraden p und q entfernt. Alle Punkte auf der Winkel- symmetrale von ∢ pr sind von den Geraden gleich weit ent- fernt. Daher muss der Schnittpunkt X dieser beiden Winkelsymme- tralen von gleich weit entfernt sein. Da alle Punkte, die von q und r gleich weit entfernt sind, auf der Winkelsymmetrale von liegen, muss auch X auf der von ∢ qr liegen. Der Punkt X ist der des von den drei Geraden p , q und r gebildeten . Seinen Abstand von den Geraden p , q und r nennt man den . Dreiecks Inkreismittelpunkt gleich weit p, q und r p und r Inkreisradius Umkreismittelpunkt ∢ pq Winkelsymmetrale ∢ qr ∢ pr Der Winkel γ im dargestellten Dreieck ABC muss ein rechter Winkel sein (Satz von Thales). ____ MA = ____ MC (weil beide Strecken Radien des Halbkreises sind). Ô Δ ist gleichschenklig Ô α 1 = ____ MB = ____ MC Ô ΔMBC ist Ô β 1 = γ = α 1 + = und α + β + γ = . Setzt man für γ die oben gefundene Beziehung ein, so erhält man: α + β + γ = · 2 = 180° . Daraus folgt: α + β = α ( α + β ) α + β β AMC α + β + α + β β 1 gleichseitig gleichschenklig 90° 45° rechtwinklig 180° Begründe, dass in der rechten Figur die gefärbte Fläche genau so groß ist wie die drei weißen Flächen zusammen genommen! In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der weißen und der gefärbten Flächen zueinander? Begründe deine Antwort! Lösung: Begründung: H 4 5 A B M 1 1 H 4 6 A B C H M D G F E H 4 7 A B C H M D G F E H 4 8 r p q Nur zu e e = Prüfzwecken r r – Eigentum des e e Verlags C öbv