Mathematik verstehen 3, Arbeitsheft

170 a) Vertauschen von Innen- und Außenglied ist nur auf einer Seite der Proportion erfolgt. Richtigstellung: x3 = 96 ¥ 6 x = 27 ¥ x = ​  27 __ 6  ​ b) beide Seiten der Proportion miteinander vertauschen, Fehler beim Dividieren Richtigstellung: a8 = 52 w ​  a _ 8 ​= ​  5 _ 2 ​ w ​  a _  8 ​·​  2 _ 5 ​= 1 w ​  2a __ 40 ​= 1 w 2a = 40 w a = 20 c) Verhältnisse werden gekürzt bzw. erweitert, dabei Fehler auf der rechten Seite Richtigstellung: 1521 = 3p w 57 = 3p w ​  5 _ 7 ​= 3p w 5p = 21 w p = 4,2 171 a) Stimmen geometrische Figuren nur in der Gestalt, aber nicht in der Größe überein, so nennt man sie deckungs­ gleich/kongruent/ähnlich. b) Das Verhältnis zweier Größen a und b ist das Produkt a·b/der Quotient ab/die Summe a + b. c) Bei Verhältnissen darf gekürzt/erweitert/Zähler mit Nen­ ner vertauscht werden. d) ab = cd nennt man Verhältnisgleichung/Produktglei­ chung/Proportion. e) Rechnet man „Außenglied mal Außenglied gleich In­ nenglied mal Innenglied“, so führt man eine Proportion in eine Bruchgleichung/Produktgleichung/Verhältnis- gleichung über. 172 u = (a + b)·2 = (5·t + 2·t)·2 = 14 t ¥ 14 t = 7 ¥ t = 0,5, a = 5·t = 2,5 (cm), b = 2·t = 1 (cm) A = a·b = 2,5·1 = 2,5 (cm 2 ) 173 174 Till misst die Längen der Seiten beider Dreiecke und über­ prüft, ob aa’ = bb’ = cc’ gilt. 175 1) 2) Dreieck ABC: a = 7,2 cm, b = 5,4 cm, c = 9 cm; Dreieck A’B’C’: a’ = 4 cm, b’ = 3 cm, c’ = 5 cm 3) Vergrößerungsfaktor k = 1,8 Verkleinerungsfaktor k = ​  5 _ 9 ​= 0,​  • 5​ 4) Dreieck ABC: α  = 53°, β  = 37°, γ  = 90°, Dreieck A’B’C’: α ’ = 53°, β ’ = 37°, γ ’ = 90°; die beiden Dreiecke sind ähnlich 5) Umfang u = a + b + c = 7,2 + 5,4 + 9 = 21,6 (cm). Flächeninhalt A = ​  a·b ___ 2  ​= (7,2·5,4)2 = 19,44 (cm 2 ). Umfang u’ = a’ + b’ + c’ = 4 + 3 + 5 = 12 (cm). Flächeninhalt A’ = ​  a’·b’ ___ 2  ​= (4·3)2 = 6 (cm 2 ). Für den Umfang u und den Umfang u’ gilt:  u’ = u    u’ = u·k    u’ = u + k Für den Flächeninhalt A und den Flächeninhalt A’ gilt:  A’ = A·k    A’ = a·k 2  A’ = A·2 176 a) k 1  = 1,6 = 160%, k 2  = 0,625 = 62,5% b) k 1  = 1,2 = 120%, k 2  = 0,8 = 80% c) k 1  = 1 = 100%, k 2  = 1 = 100% d) k 1  = 2 = 200%, k 2  = 0,5 = 50% 177 k > 1 ; identische Abbildung; k = 200%; Halbierung; k = 1,2 178 1 2 3 4 5 6 7 8 O 2. Achse 1. Achse 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Z A B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ A’ = (1 1 2), B’ = (3 1 2), C’ = (4 1 3,7), D’ = (3 1 5,5), E’ = (1 1 5,5), F’ = ( 0 1 3,7) 179 1) Den Punkt Z nennt man Streckungszentrum , A, B, C, D, E sind Originalpunkte , A’, B’, C’, D’, E’ sind Bildpunkte der zentrischen Streckung . Jede Bildstreckenlänge entsteht durch Multiplikation der Originalstreckenlänge mit dem Streckungsfaktor k. 2) Z A B C E E’ D A’ B’ C’ D’ 3) ​ __ ZA​= 3,1 cm und ​ ___ ZA’​= 6,2 cm . Der Streckungsfaktor k = 2 . 4) A grün  = (AC·BD)2 = (1,9·1,4)2 = 1,33 (cm 2 ) A blau  = (A’C’·B’D’)2 = (3,8·2,8)2 = 5,32 (cm 2 ). viermal so groß 5) A = A grün 4 = 0,3325 (cm 2 ). 180 1 2 3 4 5 6 7 8 O 2.Achse 1.Achse 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C A’ B’ C’ Z Z = (9 1 0), k = 1,7 A c a b B C C’ c’ a’ b’ A’ B’ Lösungen: 7 Figuren vergrößern und verkleinern 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv