100 % Mathematik 4, Schulbuch

49 2 Reelle Zahlen Arbeitsheft Seite 23 Nähere den Wert der Wurzel mit einer Intervallschachtelung an. Gehe dabei wie Lena vor und verwende nach Möglichkeit ein Programm für Tabellenkalkulation. a) √ __ 5 b) √ __ 7 Gehören diese Intervalle zu einer Intervallschachtelung? Begründe deine Antwort. a) ]3; 4[ ]3,7; 3,8[ ]3,74; 3,75[ b) ]2; 3[ ]2,5; 3,5[ ]2,75; 3,75[ c) ]0; 1[ ]0,5; 1[ ]0,750; 1[ d) ]1; 2[ ]1,5; 2,1[ ]1,80; 1,95[ Nina beginnt folgende Intervallschachtelung: √ ___ 23 ∈ ]4, 5[ Sie meint: „Ich suche mir eine Dezimalzahl innerhalb des Intervalls aus und quadriere sie.“ Nina wählt 4,7 und erhält 22,09. a) Wie lautet das nächste Intervall, das Nina aufschreibt? Erklärt, warum Nina 4,7 auswählt und nicht eine niedrigere Dezimalzahl (zB 4,1). b) Schreibe die nächsten zwei Intervalle auf. Vergleiche mit deiner Partnerin bzw. deinem Partner. c) Erklärt, warum ihr nicht dieselben Intervalle haben müsst. 158 I1 H2, 3 K2 Intervallschachtelung Die Intervallschachtelung braucht man, umWurzeln zu bestimmen, ohne dass man die Wurzeltaste auf dem Taschenrechner verwendet. Man gibt immer kleinere Intervalle mit rationalen Grenzen an, in denen die gesuchte reelle Zahl liegt. Wichtig ist, dass 1. das nachfolgende Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist. 2. die Intervalle immer kleiner werden. 3. die gesuchte Zahl in allen Intervallen liegt. Würde man unendlich viele solche Intervalle angeben, wäre das die genaue Beschreibung einer reellen Zahl. Die Intervallabstände werden immer kleiner, man sagt „sie gehen gegen null“. Wissen 159 I1 H2, 4 K3 160 I1 H2, 3 K2 Irrationale Zahlen Es wird vermutet, dass schon die Pythagoräer irrationale Zahlen entdeckt haben. Diese waren Pythagoras jedoch so zuwider, dass er ihre Existenz bis an sein Lebensende bestritt. Viele Mathematiker im 19. Jahrhundert beschäftigten sich mit irratio­ nalen und reellen Zahlen und legten damit viele Grundlagen der modernen Mathematik, u. a. Karl Weierstraß, Richard Dedekind, AugustinLouis Cauchy und Georg Cantor (1845−1918). Georg Cantor Geschichte der Mathematik Kopiervorlagen k8yt3s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv