Mathematik anwenden HAK 3, Schulbuch

124 Zusammenfassung Einen Zahlungsstrom, bei dem die Zahlungen in gleichen Zeitabständen und in gleicher Höhe erfolgen, nennt man eine Rente . Diese Zahlungen werden Raten der Rente genannt, die Zeitabstände nennt man Renten- perioden . Ist n die Anzahl der Rentenperioden, dann wird die Zeit von n Rentenperioden auch Laufzeit der Rente genannt. Erfolgen die Zahlungen am Ende der Rentenperiode, so heißt die Rente nachschüssig . Erfolgen die Zahlungen einer Rente jeweils am Anfang der Rentenperiode, so heißt die Rente vorschüssig . Besteht eine Rente aus n Raten R und wurde der Aufzinsungsfaktor q (pro Rentenperiode) ver- einbart, dann ist ihr Endwert nachschüssig vorschüssig E = R· q n – 1 _ q – 1 E = R·q· q n – 1 _ q – 1 und ihr Barwert B = E _ q n = R· q n – 1 _ q – 1 ·q ‒​n B = E _ q n = R·q· q n – 1 _ q – 1 ·q ‒​n . Das Restkapital K n einer ausgezahlten Rente nach n Raten bei einem Anfangsguthaben K 0 und einem zur Rentenperiode passenden Aufzinsungsfaktor q ist nachschüssig vorschüssig K n = K 0 ·q n – R· q n – 1 _ q – 1 K n = K 0 ·q n – R·q· q n – 1 _ q – 1 . Eine Rente, deren Raten ohne zeitliche Beschränkung („bis in alle Ewigkeit“) ausbezahlt werden können, nennt man ewige Rente . Zum Beispiel ist die jährliche Auszahlung der Zinsen eines Kapitals eine ewige Rente. Ein Kredit über K 0 Euro wird zu einem Zinssatz i aufgenommen und durch n Raten der Höhe R zurückgezahlt. Wir nehmen an, dass die Rentenperiode gleich der Zinsperiode ist und schreiben q für den Aufzinsungsfaktor 1 + i. Soll der Kredit durch n Raten zurückgezahlt werden, so ist die Kreditrate R nachschüssig vorschüssig R = K 0 ·q n : 2 q n – 1 _ q – 1 3 R = K 0 ·q n : 2 q· q n – 1 _ q – 1 3 . Die Restschuld nach n Ratenzahlungen ist nachschüssig vorschüssig K n = K 0 ·q n – R· q n – 1 _ q – 1 K n = K 0 ·q n – R·q· q n – 1 _ q – 1 . Wenn K 0 der aufgenommene Kredit, q der Aufzinsungsfaktor und R die Kreditrate ist, so ist die Anzahl n der Raten für nachschüssige Raten n = ln 2 R __ R – K 0 ·(q – 1) 3 : ln(q) und für vorschüssige Raten n = ln 2 R·q ___ R·q – K 0 ·(q – 1) 3 : ln(q) . Renten- rechnung Endwert und Barwert Restkapital ewige Renten Kredite Restschuld Laufzeit eines Kredits Zusammenfassung: Rentenrechnung und Schuldtilgung Nur zu Prüfzwecken q K – Eigentum K ·q des Verla s q q öbv