Malle Mathematik verstehen 8, GeoGebra, Technologietraining

38 5 Die Normalverteilung Zunächst vergleichen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der binomialverteilten Zufallsvariablen K mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern μ = n·p = 25 und σ = 9 _______ n·p· (1 – p) = 9 ___ 12,5 ≈ 3,5355: Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Normalverteilung: Der Unterschied in den beiden Ergebnissen liegt darin begründet, dass sich der Balken für K = 30 in der Binomialverteilung über das Intervall [29,5; 30,5] auf der ersten Achse erstreckt. Die Fläche unter der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung beginnt aber wirklich erst bei x = 30. Die mit der Normalverteilung berechnete Wahrscheinlichkeit P(K º 29,5) liefert demnach eine bessere Näherung,  nämlich 10,15% (Überprüfe im Wahrscheinlichkeitsrechner!).  Merke Generell kann man festhalten, dass die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalvertei- lung gut funktioniert, wenn n·p· (1 – p) deutlich größer als 9 ist. Hat man den Computer zur Verfügung,  kann man auf eine Approximation eventuell ganz verzichten, weil der Computer auch Wahrscheinlichkei- ten mit der Binomialverteilung rasch und exakt berechnen kann. Wahrscheinlichkeitsrechner: Klicke auf das Symbol für die Gaußsche Glockenkurve ! Es wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer normalverteilten Zufalls- variablen mit den Parametern μ und σ eingezeichnet. Man erkennt, dass diese Funktion die Wahrscheinlich- keitsverteilung von K gut annähert. 1 2 3 4 5 Wahrscheinlichkeitsrechner: Wechsle im Drop-Down-Menü zur Normalverteilung! 1 2 3 4 5 Wahrscheinlichkeitsrechner: Gib den Wert 25 für μ , den Wert 3.5355 (≈   9 ___ 12,5) für σ und 30 als untere Intervallgrenze ein! Das Ergebnis 0,0786 stimmt nicht besonders gut mit dem Ergebnis von oben überein! 1 2 3 4 5 Nur I z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv