Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 113 Winkelfunktionen | Harmonische Schwingungen Harmonische Schwingungen Ein Federpende ® ist eine Feder, an der ein Körper befestigt ist. Dieser Körper kann Schwingungen ausführen. Bewegt sich dieser Körper g ® eichmäßig und ste ®® t man seinen Abstand mit s(t) von der Ruhe ® age in Abhängigkeit von der Zeit dar, entstehen Sinusschwingungen. Man kann die Sinusfunktion zur Beschreibung so ® cher physika ® ischer, periodischer Vorgänge (Pende ® - schwingungen, Drehbewegungen, …) verwenden. Die Parameter a, b und c der a ®® gemeinen Sinusfunktion f(x) = a · sin(b · (x + c)) bekommen im physika ® ischen Kontext spezie ®® e Bedeutungen und andere Bezeichnungen. Aus f(x) = a · sin(b · (x + c)) wird s(t) = A· sin( ω · (t + φ 0 )): Begriff Pende ® bewegung t: Zeit in Sekunden (s) seit Beginn der Beobachtung (t = 0) vergangene Zeit s(t): E ® ongation in Meter (m) Der Abstand des schwingenden Körpers zur Ruhe ® age zum Zeitpunkt t A: Amp ® itude in Meter (m) größte Entfernung des schwingenden Körpers von der Ruhe ® age ω : Kreisfrequenz Anzah ® der Perioden (Schwingungen) im Interva ®® [0; 2 π ] φ 0 : Phasenverschiebungszeit Zum Zeitpunkt t = 0 s ist das Pende ® A· sin( ω · φ 0 ) Meter von der Ruhe ® age entfernt. (Der Graph von A· sin( ω · t) wird um φ 0 Sekunden nach ® inks verschoben.) Weiters sind in der physika ® ischen Beschreibung eines Vorganges fo ® gende Größen wichtig. Frequenz f : Sie gibt an, wie vie ® e Perioden (vo ®® e Schwingungen) in einer Sekunde durchge- führt werden. Die Einheit von f ist Schwingung pro Sekunde: s –1 = 1 Hz = 1 Hertz. Schwingungsdauer T : Sie gibt die Zeitdauer (in Sekunden) einer Schwingung an. Da der Körper für eine vo ®® e Schwingung T Sekunden benötigt, schafft er in einer Sekunde 1 _ T Schwingungen. Daher gi ® t der Zusammenhang f = 1 _ T . Außerdem ® egt der Körper pro Sekunde f = ω _ 2 π Schwingungen zurück, da ω die Anzah ® der Perioden in 2 π Sekunden angibt. Zusammenhang zwischen ω , f und T (1) f = 1 _ T (2) f = ω _ 2 π w ω = 2 π f 419. Gegeben ist die Funktionsg ® eichung einer harmonischen Schwingung: s(t) = 4 · sin(31 t). Gib die Amp ® itude A, die Kreisfrequenz ω , die Frequenz f und die Schwingungsdauer T von s an und zeichne A, f und T in den Graphen von s ein. A und ω können direkt abge ® esen werden: A = 4m ω = 31 f = ω _ 2 π = 31 _ 2 π  ≈ 5Hz;  T =   1 _ f  ≈   1 _ 5 = 0,2 s 0 s(t) Zeit t Arbeitsb ® att cu9ji4 muster 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1 1 2 3 4 6 5 –1 –2 –3 –4 s(t) s T = 0,2s A = 4 f = 5Hz = 5 Schwingungen in einer Sekunde t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv