Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

techno- logie Merke 123 Folgen | Zahlenfolgen und ihre Darstellung 452. Gib die ersten fünf G ® ieder der rekursiv gegebenen Fo ® ge an. a) a 1 = 3, a n + 1 = 2 a n + 1 c) a 1  = ‒ 2, a n + 1 = 2 a n · (a n – 1) b) a 1 = 0, a n + 1 = 0,5 (a n – 3) d) a 1  = ‒1, a n + 1 = a n · (a n + 3) 453. Berechne die ersten fünf Fo ® geng ® ieder der rekursiv gegebenen Fo ® ge. a) a 1 = 3, a n + 1 = 3 a n + 2 n – 1 c) a 1 = 3, a 2 = 9, a n + 2 = a n + 1 + 3 a n b) a 1 = 4, a 2 = 2, a n + 2 = 3 a n + 1 + a n d) a 1 = 3, a 2 = 5, a n + 2 = 3(a n + 1 + a n ) – 1 454. Finde die rekursive Darste ®® ung der beschriebenen Fo ® ge. a) Das (n + 1)-te Fo ® geng ® ied entsteht durch Potenzieren des n-ten Fo ® geng ® iedes mit 3. b) Das (n + 1)-te Fo ® geng ® ied entsteht, wenn das n-te Fo ® geng ® ied ha ® biert wird und der Quotient ansch ® ießend um 5 vergrößert wird. c) Die Quadratwurze ® aus dem n-ten Fo ® geng ® ied wird um 10 verk ® einert. So entsteht das nächstfo ® gende G ® ied. d) Der Quotient aus der Summe des n-ten Fo ® geng ® ieds und 3 und der Differenz des n-ten Fo ® geng ® ieds und 3 ergibt das (n + 1)-te Fo ® geng ® ied. 455. Berechne die ersten fünf G ® ieder der Fo ® ge und gib eine rekursive Darste ®® ung an. a) a n = 4 n – 5 c) a n = 2 n – 1 e) a n = 5 n + 3 _ 4 g) a n  = ‒ 5 · 2 n b) a n = 1 + 1 _ 2 n d) a n = 4 + (n – 1) · 2 f) a n = 2 – 8 n _ 5 h) a n = 4 – 2 _ 5 n 456. Gib eine rekursive Darste ®® ung der Zah ® enfo ® ge an. a)  (5, 1, ‒ 3, ‒7, …)  b) (10; 5; 2,5; 1,25; …) c) (4, 8, 16, 32, …) d) (3, 3, 3, 3, …) 457. Erörtere die Vor- und Nachtei ® e der exp ® iziten und rekursiven Darste ®® ungsform für Fo ® gen. Graphische Darste ®® ung Die G ® ieder einer Fo ® ge können a ® s Punkte auf der Zah ® engeraden dargeste ®® t werden. 458. Ste ®® e die ersten fünf Fo ® geng ® ieder der Fo ® ge a n = 0,5 n + 1 auf der Zah ® engeraden dar. a 1 = 0,5 ·1 + 1 = 1,5; a 2 = 2; a 3 = 2,5; a 4 = 3; a 5 = 3,5 459. Ste ®® e die ersten fünf Fo ® geng ® ieder auf der Zah ® engeraden dar. a) a n  = ‒   1 _ 2 n + 2 b) a n = 1 _ 2 n 2 + 1 c) a n = 50 · 0,5 n d) a n = 2 n + 1 _ n Darste ®® ung einer Fo ® ge a ® s Punkte auf der Zah ® engeraden Geogebra: Fo ® ge[(Fo ® ge,0),Variab ® e, Startwert, Endwert] Beispie ® : Fo ® ge[(‒1/2 n + 2,0),n,1,5] Zah ® enfo ® gen a ® s Funktionen Eine Fo ® ge kann auch a ® s Funktion mit dem Definitionsbereich D = N aufgefasst werden. Jeder natür ® ichen Zah ® n > 0 wird eindeutig ein Wert a(n) = a n zugeordnet. Die Zah ® enpaare (n 1 a(n)) bzw. (n 1 a n ) können a ® s Punkte im Koordinatensystem dargeste ®® t werden. muster 0 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv