Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke Merke 142 kompe- tenzen 9.2 Geometrische Reihe Lernzie ® e: º Die Definition einer geometrischen Reihe angeben können º Die Summenforme ® für die end ® iche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.2) º Den Begriff der Summe einer unend ® ichen Reihe definieren können (FA-L 8.1) º Die Summenforme ® für die unend ® iche geometrische Reihe kennen und anwenden können (FA-L 8.3) º Endwerte von rege ® mäßigen g ® eichb ® eibenden Zah ® ungen (Renten) berechnen können Gegeben ist die geometrische Fo ® ge 2, 4, 8, 16, 32, 64, … Es gi ® t b 1 = 2 und q = 2. Werden die ersten n G ® ieder der Fo ® ge summiert, erhä ® t man eine Fo ® ge von Tei ® summen (Partia ® summen), die a ® s end ® iche geometrische Reihen bezeichnet werden: s 1 = b 1 = 2 s 2 = 2 + 4 = 6 s 3 = 2 + 4 + 8 = 14 usw. End ® iche geometrische Reihe Ist (b n ) eine geometrische Fo ® ge mit den Fo ® geng ® iedern b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , …, so bezeichnet man den Ausdruck s n = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + … + b n a ® s end ® iche geometrische Reihe . Summenforme ® für die end ® iche geometrische Reihe Für die Berechnung der Summe s n = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + … + b n – 1 + b n ® ässt sich eine Forme ® her ® eiten: Dazu verwendet man das Bi ® dungsgesetz der geometrischen Fo ® ge b n = b 1 ·q n – 1 und setzt ein: s n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + … + b 1 q n – 2 + b 1 q n – 1 . – { s n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + … + b 1 q n – 2 + b 1 q n – 1 s n · q = b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + … + b 1 q n – 2 + b 1 q n – 1 + b 1 q n Nun wird die G ® eichung mit q mu ® tip ® iziert und die erste G ® eichung subtrahiert. Dadurch fa ®® en auf der rechten Seite bis auf den ersten und den ® etzten a ®® e Summanden weg. Herausheben und Umformen ® iefern eine Forme ® zur Berechnung von s n : s n · q – s n = b 1 q n – b 1 s n · (q – 1) = b 1 · (q n  – 1) |: (q – 1) mit q ≠ 1 s n = b 1 · q n – 1 _ q – 1 Summenforme ® für die end ® iche geometrische Reihe Für die Summe der end ® ichen geometrischen Fo ® ge gi ® t: s n = b 1 · q n – 1 _ q – 1  (q ≠ 1) 558. Berechne für b n = 4,5 · 0,1 n die Summe s 30 der end ® ichen geometrischen Fo ® ge. Setzt man b 1 = 4,5 · 0,1 = 0,45 und q = 0,1 in die Summenforme ® n ein, erhä ® t man sie Summe s 30 = b 1 · q 30 – 1 _ q – 1 = 0,45 · 0,1 30 – 1 _ 0,1 – 1 = 0,5 559. Berechne für die geometrische Fo ® ge b n die Summe der gegebenen end ® ichen geometri- schen Fo ® ge. a) b n = 2 ·1,2 n ; s 10 b) b n = 0,5 · 4 n ; s 18 c) b n = 5 · 0,2 n ; s 30 d) b n  = ‒ 3 · 0,25 n ; s 50 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv