Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

143 Reihen | Geometrische Reihe 560. Berechne den Wert der end ® ichen geometrischen Reihe. a) b 1 = 4, q = 3; s 8 = ? c) b 1  = 2, q = ‒ 2; s 11 = ? e) b 1 = 7; q = 2, s 10 = ? b) b 1 = 20, q = 0,5; s 21 = ? d) b 1 = 4, q = 3, s 8 = ? f) b 1 = 21,5; q = 0,25; s 18 = ? 561. Jemand schreibt ein g ® eich ® autendes Mai ® an drei Personen und fordert jeden der Empfänger auf, das Mai ® innerha ® b einer Woche wieder an drei weitere Personen zu versenden. Wie vie ® e Personen erha ® ten innerha ® b von zehn Wochen dieses „Kettenmai ® “, wenn die Kette nie unterbrochen wird? Die Anzah ® der versendeten Mai ® s bi ® det eine geometrische Fo ® ge: Die drei zu Beginn geschriebenen Mai ® s bi ® den des erste Fo ® geng ® ied. Die weiteren Fo ® geng ® ieder entstehen durch die Mu ® tip ® ikation des jewei ® s vorangehenden Fo ® geng ® ieds mit 3. Jeder Empfänger so ®® ja wieder an drei Personen die Mai ® verschicken. b 1 = 3, b 2 = 9, b 3 = 27, b 4 = 81, … mit q = 3 Man muss s 10 berechnen: s 10 = b 1 · q 10 – 1 _ q – 1 = 3 · 3 10 – 1 _ 3 – 1 = 88 572 Es erha ® ten innerha ® b von 10 Wochen 88 572 Personen eine Mai ® . 562. Der Erfinder des Schachspie ® s wo ®® te a ® s Be ® ohnung die Menge an Weizenkörnern, die man insgesamt erhä ® t, wenn man auf das erste der 64 Fe ® der des Schachbretts ein Korn, auf das zweite Fe ® d 2 Körner und auf jedes fo ® gende Fe ® d doppe ® t so vie ® e Körner ® egt wie auf das vorhergehende. a) Wie vie ® e Weizenkörner würde das ergeben? b) Wie vie ® e Lastzüge zu je 50 Waggons mit je 20 Tonnen Fassungsvermögen könnten diese Weizenmenge befördern? (2,2 ·10 7 Weizenkörner wiegen 1 Tonne) 563. We ® chen Wert hat die end ® iche Reihe 5 + 15 + 45 + … + 32 805? Man bestimmt zuerst q und ansch ® ießend die Anzah ® n der Summanden: q = 15 _ 5 = 3 32 805 = 5 · 3 n – 1 | : 5 6 561 = 3 n – 1 Lösen der Exponentia ® g ® eichung ® og(6 561) = (n – 1) ® og(3) | : ® og(3), + 1 ® og(6 561) __ ® og(3) + 1 = n 9 = n Durch Einsetzen in die Forme ® erhä ® t man die Summe: s 9 = b 1 · q 9 – 1 _ q – 1 = 5 · 3 9 – 1 _ 3 – 1 = 49 205 564. Berechne die Anzah ® n der Summanden der end ® ichen geometrischen Reihe. a) s n = 65 535; b 1 = 3; q = 4 d) s n = 19,375; b 1 = 10; q = 0,5 b) s n = 12 282; b 1 = 6; q = 2 e) s n = 455 _ 27 ; b 1 = 7; q = 2 _ 3 c) s n = 1 534,5; b 1 = 1,5; q = 2 f) s n = 3 542 920; b 1 = 40; q = 3 565. Berechne den Wert der Reihe. a) 1,5 + 3 + 6 + … + 3 072 c) 10 + 5 + 2,5 + … + 0,15625 e) 6 + 18 + 54 + … + 13122 b) 1 + 3 _ 4 + 9 _ 16 + … + 81 _ 256 d) 1 + 4 + 16 + … + 262144 f) 1 + 1 _ 2 + 1 _ 4 + … + 1 _ 256 muster muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv