Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 145 Reihen | Geometrische Reihe 573. Ein Ba ®® wird aus 1,5m Höhe fa ®® en ge ® assen. Er pra ®® t vom Boden ab und steigt wieder senk- recht 1,35m nach oben. Nachdem er erneut vom Boden abgepra ®® t ist, steigt er nur mehr 1,215m hoch u. s.w. Die Höhen, die der Ba ®® aufsteigt, bi ® den eine geometrische Fo ® ge. We ® chen Weg hat der Ba ®® zurückge ® egt, nachdem er den Boden sechsma ® berührt hat? Summenforme ® für die unend ® iche geometrische Reihe Man betrachtet zum Beispie ® die geometrische Fo ® ge b n = 0,5 n und berechnet einige Fo ® geng ® ieder: b 1 = 0,5 1 = 0,5 b 7 = 0,5 7   ≈ 0,0078 b 2 = 0,5 2 = 0,25 b 11 = 0,5 11 ≈ 0,000488 b 3 = 0,5 3 = 0,125 b 25 = 0,5 25 ≈ 0,00000003 Die Fo ® geng ® ieder nähern sich dem Wert 0, da die Potenzen von q = 0,5 eine Nu ®® fo ® ge bi ® den. Summiert man a ®® e Fo ® geng ® ieder b n schrittweise und ste ®® t sie graphisch a ® s F ® ächeninha ® t von Quadraten dar, dann ste ®® t sich die Frage: wird das Quadrat jema ® s vo ®® ? Die Antwort ® autet nein, da die jewei ® s zu ® etzt betrachtete F ® äche immer ha ® biert wird. Es gibt aber einen Grenzwert für den F ® ächeninha ® t des derart entstehenden Quadrats, der a ® s Summe der Fo ® geng ® ieder einer unend ® ichen geometrischen Fo ® ge definiert wird: s = s • = ® im n ¥ • s n = ® im n ¥ • b 1 · q n – 1 _ q – 1 = b 1 · ® im n ¥ • q n – 1 __ q – 1 = b 1 · 0 – 1 _ q – 1 = b 1 · ‒1 _ q – 1 = b 1 · 1 _ 1 – q = b 1 _ 1 – q Mit b 1 = 0,5 und q = 0,5 ergibt sich somit die Summe s = 0,5 _ 1 – 0,5 = 1. Summenforme ® für die unend ® iche geometrische Reihe Gi ® t ‒1 < q < 1 bzw.  † q †  < 1, bi ® den die Potenzen von q immer eine Nu ®® fo ® ge: ® im n ¥ • q n = 0 Für die Summe der Fo ® geng ® ieder einer unend ® ichen geometrischen Fo ® ge gi ® t: s = b 1 _ 1 – q ( † q †  < 1) 574. Kreuze die geometrischen Fo ® gen an, für die die Summe der Fo ® geng ® ieder der unend ® ichen geometrischen Fo ® ge berechnet werden kann. A  b n = 3 · 0,1 n B  b n = 0,1 · 3 n C  b n = 1,2 · 0,06 n D  b n = 6 _ 5 · 2 n E  b n = 11 _ 7 · 2 7 _ 11 3 n 575. Die Summe der Fo ® geng ® ieder der unend ® ichen geometrischen Fo ® ge (1) ® ässt sich bestimmen, da (2) ist. Ergänze den Text so, dass er mathematisch korrekt ist. (1) (2) 0,4 + 0,08 + 0,016 + …  q = 1,02  2,4 + 2,88 + 3,456 + …  q = 0,2  1,02 + 1,0404 + …  q = 1,2  576. Berechne die Summe a ®® er Fo ® geng ® ieder der geometrischen Fo ® ge. a) b 1 = 23; q = 0,31 b) b n  = ‒ 6 · 0,1 n c) b n  = ‒ 2,4 · 0,25 n d) b n = 0,541 n 577. Berechne die Summen der unend ® ichen geometrischen Reihen. a) 1,5 + 0,75 + 0,375 + … c) 60 + 15 + 3,75 + 0,9375 + … e) 100 + 20 + 4 + 0,8 + … b) 1 _ 3 + 1 _ 15 + 1 _ 75 + 1 _ 375 + … d) 7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + … f) 50 + 6,25 + 0,78125 + … 1 –16 1 –2 1 –8 1 –4 Nur zu Prüfzwecken n _ – – Eigentum d s Verlags öbv