Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

146 Reihen 9 578. Berechne die Länge der Sch ® angen ® inie aus Aufgabe 569, wenn das beschriebene Verfahren zum Erzeugen der Sch ® angen ® inie unend ® ich oft fortgesetzt wird. 579. Führe das Verfahren aus Aufgabe 570 unend ® ich fort. a) Berechne die Summe a ®® er Umfänge der Quadrate. b) Berechne die Summe a ®® er F ® ächeninha ® te der Quadrate. 580. An einen Ha ® bkreis mit dem Radius r = 20 cm wird ein Ha ® bkreis mit einem ha ® b so großen Radius angefügt und dieses Verfahren unend ® ich oft wiederho ® t. Berechne die Gesamt ® änge der so entstehenden Spira ® e. 581. Auf ein Quadrat mit der Grund ® inie a 1 = 10 cm wird ein zweites Quadrat geste ®® t, dessen Seiten ® änge dem Umkreisradius des ersten Quadrats entspricht. Auf das zweite Quadrat wird ein drittes Quadrat geste ®® t, dessen Seiten ® änge dem Umkreisradius des zweiten Quadrats entspricht u.s.w. a) Wie hoch ist die gesamte Anordnung der Quadrate? b) Wie groß ist die Summe der F ® ächeninha ® te a ®® er Quadrate? c) Wie groß ist die Summe der Umfänge a ®® er Quadrate? 582. Ein Kreis hat den Radius r = 20 cm. Diesem Kreis wird ein Quadrat einge- schrieben, dem Quadrat wieder ein Kreis, dem Kreis wieder ein Quadrat u. s.w. Das Verfahren wird unend ® ich fortgesetzt. a) Berechne die Summe der Umfänge und F ® ächeninha ® te a ®® er Kreise. b) Berechne die Summe der Umfänge und F ® ächeninha ® te a ®® er Quadrate. 583. Auf einer Rennstrecke fahren ein Auto und ein Motorrad g ® eichzeitig ® os. Das Motorrad hat einen Vorsprung von 200m. Das Auto ist mit einer Geschwindigkeit von 216 km/h unterwegs, das Motorrad mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h. a) Nach we ® chem Weg ho ® t das Auto das Motorrad ein? b) Wie ® ange dauert es, bis das Auto das Motorrad einho ® t? Über ® ege um wie vie ® ma ® schne ®® er das Auto fährt. 584. Ste ®® e die periodische Dezima ® zah ® 0, _ 14 a ® s unend ® iche geometrische Reihe und a ® s Bruch dar. Die periodische Dezima ® zah ® ® ässt sich a ® s unend ® iche geometrische Reihe darste ®® en: 0, _ 14 = 0,14141414… = 14 _ 100 + 14 _ 10 000 + 14 __ 1 000 000 + … Es gi ® t: b 1 = 14 _ 100 und q = 14 _ 10 000 : 14 _ 100 = 1 _ 100  < 1 Da q < 1 ist, kann die Summenforme ® für die unend ® iche geometrische Reihe verwendet und damit 0, _ 14 a ® s Bruch dargeste ®® t werden: 0, _ 14 = 14 _ 100 _ 1 – 1 _ 100 = 14 _ 100 _ 99 _ 100 = 14 _ 99 r a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 1 Arbeitsb ® att Achi ®® es und die Schi ® dkröte; Vertiefung harmonische Reihe h38mw2 TIPP muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv