Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 148 Reihen 9 Rege ® mäßige g ® eichb ® eibende Zah ® ungen („Renten“) 590. Jemand zah ® t sechs Ma ® am Jahresbeginn (dies wird a ® s „ vorschüssige “ Zah ® ung bezeichnet) jewei ® s 2 000€ auf ein mit 4% p. a. verzinstes Sparbuch. We ® cher Betrag kann nach Ab ® auf der sechs Jahre behoben werden? Der Aufzinsungsfaktor ® autet q = 1,04. Eine Zeit ® inie veranschau ® icht den Sachverha ® t: Die erste Zah ® ung wird über einen Zeitraum von sechs ganzen Jahren verzinst, die zweite Zah ® ung über einen Zeitraum von fünf Jahren u. s.w. Die zu ® etzt getätigte Einzah ® ung wird noch ein Jahr ® ang aufgezinst. Die einze ® nen Zah ® ungen von 2 000€ ergeben mit Zinsen und Zinseszinsen zusammen den Endwert E. Dadurch entsteht eine end ® iche geometrische Reihe, deren Summe mit der Summenforme ® berechnet werden kann: E = s 6 = 2 000 q + 2 000 q 2 + 2 000 q 3 + 2 000 q 4 + 2 000 q 5 + 2 000 q 6 = = 2 000 q · q 6 – 1 _ q – 1 = 2 000 ·1,02 · 1,02 6 – 1 __ 1,02 – 1  ≈ 12 868,57€ Nach sechs Jahren können 12 868,57€ behoben werden. Endwert einer vorschüssigen Jahresrente Eine Zah ® ung wird a ® s vorschüssig bezeichnet, wenn sie am Beginn der Verzinungsperiode erfo ® gt. Für den Endwert E einer mit p% p. a. verzinsten vorschüssigen Jahresrente R und einer Laufzeit von n Jahren gi ® t: E = R · q · q n – 1 _ q – 1 mit q = 1 + p _ 100 . 591. Ein Betrag von R€ wird n Jahre ® ang vorschüssig auf ein mit p% pro Jahr verzinstes Sparbuch ge ® egt. Berechne das Guthaben am Ende des ® etzten Jahres. a) R = 500€; p = 2,75; n = 5 b) R = 1 000€; p = 3,5; n = 8 c) R = 4 500€; p = 1,5; n = 15 d) R = 3 450€; p = 4; n = 10 592. We ® chen Betrag R hat jemand n Jahre ® ang vorschüssig auf ein mit p% pro Jahr verzinstes Sparbuch einge ® egt, um am Ende der Laufzeit den Betrag E beheben zu können? a) E = 8 950€; p = 2,5; n = 8 c) E = 70 557€; p = 2; n = 15 b) E = 33 992€, p = 1,5; n = 5 d) E = 63 252€; p = 0,5; n = 20 593. Nach we ® cher Laufzeit n wächst eine vorschüssige Jahresrente R bei einem Jahreszinssatz von p% auf den Endwert E an? a) R = 1 200€; p = 2,4; E = 15 261,40€ c) R = 800€; p = 3; E = 6 313,87€ b) R = 2 400€; p = 1,8; E = 38 509,69€ d) R = 5 000€; p = 1,2; E = 113 611,49€ muster 2000 · q 6 2000 · q 5 2000 · q 4 2000 · q 3 2000 · q 2 2000 · q E 1 2 3 6 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv