Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 149 Reihen | Geometrische Reihe 594. Michae ® zah ® t am Ende eines jeden Monats („ nachschüssig “) 50€ auf ein mit 4% p. a. verzinstes Sparbuch ein. We ® chen Betrag hat er nach drei Jahren angespart? Der jähr ® iche Aufzinsungsfaktor ist q = 1,04. Die Zinsperioden (drei Jahre) entsprechen nicht den Perioden, in denen Zah ® ungen erfo ® gen, da monat ® ich einbezah ® t wird. Es gibt 12 · 3 = 36 monat ® iche Zah ® ungen. Es ist vorher der äquiva ® ente monat ® iche Aufzinsungsfaktor q 12 zu bestimmen. Darunter versteht man den Aufzinsungsfaktor, der in 12 Monaten das Kapita ® auf dense ® ben Wert anwachsen ® ässt wie q. D. h. q 12 12 = q ¥ q 12 = 12 9 _ q q 12 = 12 9 ___ 1,04 ≈ 1,0 033 Die Zeit ® inie veranschau ® icht den Sachverha ® t: Die erste Zah ® ung wird 36 Monate verzinst, die zweite 35 Monate u. s.w. Daraus ergibt sich für den Endwert E = s 36 = 50 + 50 q 12 + … + 50 q 12 36 = 50 · 1,0033 36 – 1 __ 1,0 033 – 1  ≈ 1 907,05€ Am Ende des dritten Jahres hat Michae ® rund 1 907,05€ angespart. Endwert einer nachschüssigen Jahresrente Eine Zah ® ung wird a ® s nachschüssig bezeichnet, wenn sie am Ende der Verzinungsperiode erfo ® gt. Für den Endwert E einer mit p% p. a. verzinsten nachschüssigen Jahresrente R und einer Laufzeit von n Jahren gi ® t: E = R · q n – 1 _ q – 1 mit q = 1 + p _ 100 595. Berechne den Endwert, wenn der gegebene Betrag über den angeführten Zeitraum bei einer jähr ® ichen Verzinsung von 2,5% rege ® mäßig eingezah ® t wird. a) 1 200€ am Jahresende, Laufzeit 25 Jahre d) 500€ am Jahresanfang, Laufzeit 10 Jahre b) 60€ am Monatsende, Laufzeit 10 Jahre e) 120€ am Quarta ® sanfang, Laufzeit 7 Jahre c) 120€ Quarta ® sende, Laufzeit 5 Jahre f) 90€ am Monatsanfang, Laufzeit 6 Jahre Reihen s n = a 1 + a 2 + … + a n Summenforme ® für die end ® iche arithmetische Reihe: s n = n _ 2 · (a 1 + a n ) = n _ 2 · (2 a 1 + (n – 1) d) Summenforme ® für die end ® iche geometrische Reihe (für q ≠ 1): s n = b 1 · q n – 1 _ q – 1 Summenforme ® für die unend ® iche geometrische Reihe (für † q † < 1): s = b 1 _ 1 – q Endwert (vorschüssig) nach n Jahren: E = R · q · q n – 1 _ q – 1 Endwert (nachschüssig) nach n Jahren: E = R · q n – 1 _ q – 1 muster Die ® etzte Zah ® ung wird nicht mehr verzinst! 50 · q 36 50 · q 35 50 · q 34 50 · q 12 50 E 1 2 3 36 … 35 12 12 12 Arbeitsb ® att Berechnung Barwert g4r49j zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv