Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

150 Reihen 9 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 596. Die Koch’sche Schneef ® ocke entsteht durch fo ® gende Konstruktion: Gegeben ist ein g ® eich- seitiges Dreieck mit der Seiten ® änge s. Man tei ® t jede der Seiten in drei g ® eich ® ange Tei ® - strecken und setzt auf die mitt ® ere Tei ® strecke wieder ein g ® eichseitiges Dreieck, dessen Seiten ® änge so ® ang ist wie die Tei ® strecke der Ausgangsseite. Man erhä ® t nun vier g ® eich ® ange Streckenstücke, bei denen der Vorgang jewei ® s wiederho ® t wird. Die Abbi ® dung zeigt die „Schneef ® ocke“, nachdem die Konstruktion zweima ® mit s = 1 wiederho ® t wurde. a) Die Umfänge der Koch’schen Schneef ® ocke nach den einze ® nen Konstruktionsschritten bi ® den die Fo ® ge u 1 , u 2 , u 3 , u. s.w. Das a ®® gemeine Bi ® dungsgesetz der Fo ® ge der Umfänge nach n Konstruktionsschritten ® autet u n = s · 2 4 _ 3 3 n 1) Gib die ersten fünf Fo ® geng ® ieder an, wenn die Seiten ® änge des g ® eichseitigen Ausgangsdreiecks s = 1 ist. 2) Um we ® che Art von Fo ® ge hande ® t es sich? Begründe deine Entscheidung. 3) Begründe, dass die Fo ® ge u n für n ¥ • keinen Grenzwert besitzt. b) Bestimme die Anzah ® der Konstruktionsschritte, nach denen der Umfang der Koch’schen Schneef ® ocke mit s = 1 auf 5 600 Längeneinheiten angewachsen ist. c) Für den F ® ächeninha ® t der Koch ’schen Schneef ® ocke gi ® t ausgehend von einem g ® eichseitigen Dreieck mit der Seiten ® änge s nach n Konstruktionsschritten: A n = s 2 · 9 _ 3 _ 16 · 4 2 4 _ 9 3 1 + 2 4 _ 9 3 2 + 2 4 _ 9 3 3 + … + 2 4 _ 9 3 n 5 1) Begründe, dass es sich bei A n um eine end ® iche geometrische Reihe hande ® t. 2) Berechne den F ® ächeninha ® t nach n = 20 Konstruktionsschritten. 3) Begründe, dass A n für n ¥ • einen Grenzwert besitzt und zeige, dass für den Grenzwert gi ® t: A = s 2 · 9 _ 3 _ 20 . Typ 2 1 –3 1 –3 1 –3 1 –3 s s s 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv