Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

153 REFLEXION Der indirekte Beweis Wenn ein Sesse ® sicher nicht „nicht b ® au“ ist, dann ist er sicher „b ® au“ In der Mathematik ge ® ten fo ® gende Gesetze der Logik. (1) „Entweder ist eine Aussage fa ® sch, oder sie ist richtig. Eine dritte Mög ® ichkeit gibt es nicht.“ (2) „Wenn eine Aussage richtig ist, dann ist ihre Verneinung fa ® sch und wenn die Verneinung einer Aussage fa ® sch ist, dann ist die Aussage se ® bst richtig“ Die Zusammenhänge werden nun an einem Beispie ® aufgezeigt. Die Aussage „Dieser Sesse ® ist b ® au“ kann nur richtig oder fa ® sch sein (Gesetz (1)). Die Verneinung dieser Aussage „Dieser Sesse ® ist nicht b ® au“ kann ebenso nur richtig oder fa ® sch sein. (Gesetz (1)) Aus der Richtigkeit der Aussage „Dieser Sesse ® ist b ® au“ fo ® gt, dass die Verneinung „Dieser Sesse ® ist nicht b ® au“ fa ® sch ist. (Gesetz (2)) Und wenn die Verneinung „Dieser Sesse ® ist nicht b ® au“ fa ® sch ist, dann fo ® gt daraus, dass die Aussage „Dieser Sesse ® ist b ® au“ sicher richtig ist. (Gesetz (2)) Euk ® ids indirekter Beweis über die Unend ® ichkeit der Primzah ® en Voraussetzung Der Beweis setzt fo ® gende Einsicht voraus, „Jede Zah ® ist entweder eine Primzah ® , oder sie ist durch eine Primzah ® (die k ® einer ist a ® s sie se ® bst) tei ® bar.“ Idee des Indirekten Beweises Wenn es nun ge ® ingt zu zeigen, dass die Aussage „Es gibt end ® ich vie ® e Primzah ® en.“ fa ® sch ist, dann ist damit indirekt bewiesen, dass die Aussage „Es gibt unend ® ich vie ® e Primzah ® en.“ richtig ist (Gesetz (2)). Diese Beweisart nennt man Indirekter Beweis. Beweis Zunächst nimmt man an, dass es nur end ® ich vie ® e Primzah ® en gibt. Dann könnte man diese in einer Liste beginnend mit der k ® einsten Primzah ® p 1 bis zur größten Primzah ® p n aufschreiben. Die vo ®® ständige Liste a ®® er Primzah ® en würde dann so aussehen: p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , … p n . Und jetzt kommt die genia ® e Idee von Euk ® id ins Spie ® . Er berechnete aus a ®® en Primzah ® en eine neue Zah ® Z, indem er a ®® e Primzah ® en miteinander mu ® tip ® izierte und zu diesem Produkt 1 addierte. Z = p 1 · p 2 · p 3 · p 4 · p 5 ·…· p n + 1 Und nun wendet man die Voraussetzung des Beweises auf diese Zah ® Z an: Z ist a ® so entweder eine Primzah ® , oder sie ist durch eine k ® einere Primzah ® tei ® bar. Wenn Z eine Primzah ® ist, dann ist sie sicher größer a ® s die größte Primzah ® der Primzah ® en ® iste p n . Die Liste ist in diesem Fa ®® a ® so nicht vo ®® ständig. Wenn Z keine Primzah ® ist, dann ist sie durch eine Primzah ® p tei ® bar. Diese Primzah ® kann aber keine aus der Primzah ®® iste sein, wei ® bei Division der Rest 1 stehen b ® eiben würde. A ® so ist p eine neue Primzah ® . Die Primzah ®® iste ist a ® so auch in diesem Fa ®® nicht vo ®® ständig. Daraus fo ® gt, dass die Annahme einer vo ®® ständigen end ® ichen Primzah ®® iste sicher fa ® sch ist. Damit ist indirekt bewiesen, dass es unend ® ich vie ® e Primzah ® en gibt! q. e. d. Es ist falsch, dass dieser Sessel nicht blau ist. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv