Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke techno- logie 163 kompe- tenzen 10.2 Das Vektorprodukt Lernzie ® e: º Definition des vektorie ®® en Produkts und seine geometrische Bedeutung kennen (AG-L 3.8) º Norma ® vektoren im Raum berechnen können º F ® ächen und Vo ® umen mit Vektoren berechnen können Definition und Eigenschaften Zu einem einzigen Vektor im R 3 gibt es unend ® ich vie ® e norma ® e Richtungen (s. Kap 10.1). Sucht man jedoch einen  Norma ® vektor zu zwei (nicht para ®® e ® en) Vektoren   _ À a und _ À b, so gibt es nur eine passende norma ® e Richtung. A ®® e Vektoren, die zu _ À a und zu _ À b norma ® sind, sind daher zuein- ander para ®® e ®  und unterscheiden sich nur durch ihre Länge  und Orientierung. Mit Hi ® fe des Vektorproduktes kann man im R 3 einen Norma ® vektor zu zwei Vektoren finden, der besondere Ei- genschaften aufweist. (Beweis S. 276) Vektorprodukt (Kreuzprodukt) _ À a × _ À b = 2 x a y a z a 3 × 2 x b y b z b 3 = 2 y a z b – z a y b ‒ (x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b 3 _ À a, _ À b * R 3 _ À a × _ À b steht norma ® auf _ À a und _ À b. Um sich diese Forme ® ® eichter merken zu können, gibt es fo ® gendes Merkschema: x-Koordinate von _ À a × _ À b y-Koordinate von _ À a × _ À b z-Koordinate von _ À a × _ À b x a x b y a y b z a z b x a x b y a y b z a z b x a x b y a y b z a z b y a z b – z a y b ‒ ( x a z b – z a x b ) x a y b – y a x b Berechne das Vektorprodukt der Vektoren _ À a = 2 2 ‒1 4 3 und _ À b = 2 3 ‒ 2 1 3 . Überprüfe mit Hi ® fe des Ska ® arproduktes, ob der Vektor _ À a zum Vektor _ À a × _ À b orthogona ® ist. _ À a × _ À b = 2 2 ‒1 4 3 × 2 3 ‒ 2 1 3 = 2 (‒1) ·1 – 4 · (‒ 2) ‒ (2 ·1 – 4 · 3) 2 · (‒ 2) – (‒1) · 3 3 = 2 7 10 ‒1 3 _ À a · ( _ À a × _ À b) =   2 2 ‒1 4 3 · 2 7 10 ‒1 3 = 14 – 10 – 4 = 0 É _ À a und ( _ À a × _ À b) stehen aufeinander norma ® . Das Kreuzprodukt _ À u × _ À v zweier Vektoren _ À u und _ À v Geogebra: Kreuzprodukt[u, v] oder u £ v Beispie ® : (1, 2, 3) £ (2, 3, 4) A = (‒1, 2, ‒1) _ À n i (i = 1, 2, 3) sind Norma ® - vektoren zu _ À a und _ À b. Sie haben im R 3 a ®® e die g ® eiche Richtung 2 2 4 2 8 0 y z x a b n 1 n 2 n 3 2 2 4 0 y z x a a b b × Techno ® ogie Übung d6n7ye muster Techno ® ogie Vektorprodukt mit GeoGebra u73i96 Nur zu Prüfzwecken ‒ – Eigentum des Verlags öbv n