Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 164 Vektoren im Raum 10 646. Berechne das Vektorprodukt der Vektoren _ À a und _ À b. Überprüfe mit Hi ® fe des Ska ® arproduktes, ob die Vektoren _ À a und _ À b zum Vektor _ À a × _ À b orthogona ® sind. a) _ À a = 2 ‒ 2 1 ‒ 2 3 , _ À b = 2 1 1 ‒ 2 3 b) _ À a = 2 ‒ 3 7 ‒ 2 3 , _ À b = 2 ‒ 2 0 ‒ 6 3 c) _ À a = 2 1 2 ‒ 3 3 , _ À b = 2 ‒ 2 ‒1 0 3 d) _ À a = 2 5 3 ‒ 2 3 , _ À b = 2 ‒ 4 5 1 3 647. A, B und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme einen Vektor, der norma ® auf die Dreiecksf ® äche steht. a)  A = (‒ 2 1 1 1 1), B = (‒1 1 2 1 0), C = (1 1 ‒1 1 1)  c) A = (0 1 1 1 0), B = (‒1 1 2 1 0), C = (16 1 0 1 0) b) A = (4 1 7 1 ‒ 3), B = (6 1 2 1 ‒ 3), C = (0 1 ‒ 2 1 4)  d) A = (1 1 1 1 1), B = (1 1 ‒ 3 1 2), C = (1 1 7 1 2) Die Eigenschaften des Vektorproduktes – Das Ergebnis des Vektorproduktes _ À a × _ À b ist ein Vektor, der auf die beiden Ausgangsvektoren _ À a und _ À b norma ® steht. _ À a © _ À a × _ À b; _ À b © _ À a × _ À b – Der Betrag des Vektorproduktes ist genauso groß wie die F ® äche des Para ®® e ® ogramms , das von den Ausgangsvektoren aufgespannt wird. A = | _ À a × _ À b |  (Beweis S. 276) – Die Vektoren _ À a, _ À b und _ À a × _ À b bi ® den ein Rechtssystem , das bedeutet: Wird der Vektor _ À a durch den Daumen der rechten Hand und der Vektor _ À b durch deren Zeigefinger dargeste ®® t, so sind Orientierung und Richtung des Kreuzproduktes _ À a × _ À b durch den Mitte ® finger der rechten Hand festge ® egt. 648. Bestimme die Vektorprodukte _ À a × _ À b und _ À b × _ À a ohne Berechnung. a) _ À a = 2 1 0 0 3 , _ À b = 2 0 1 0 3 b) _ À a = 2 0 0 1 3 , _ À b = 2 1 0 0 3 c) _ À a = 2 1 2 3 3 , _ À b = 2 2 4 6 3 d) _ À a = 2 0 0 4 3 , _ À b = 2 4 0 0 3 649. Bestimme das Ergebnis des Kreuzproduktes. a) _ À u × _ À v c) _ À v × _ À u e) _ À w× _ À c g) _ À w× _ À a b) _ À w× _ À v d) _ À a × _ À c f) _ À c × _ À u h) _ À b × _ À a 650. Berechne die feh ® enden Ecken und die F ® äche des Para ®® e ® o- gramms mit den Eckpunkten ABCD und dem Mitte ® punkt M. a)  A = (2 1 ‒1 1 3), B = (‒ 3 1 ‒1 1 0), C = (0 1 4 1 ‒1)  c) A = (0 1 ‒1 1 5), M = (‒ 2 1 ‒ 3 1 1), B = (3 1 ‒1 1 2) b) C = (3 1 ‒ 2 1 3), M = (0 1 ‒1 1 0), D = (‒ 2 1 ‒ 3 1 ‒1)  d) C = (1 1 ‒1 1 4), B = (‒ 5 1 1 1 2), D = (0 1 0 1 ‒1) 651. Bewegt sich ein ge ® adenes Tei ® chen A mit der Geschwindigkeit _ À v durch ein Magnetfe ® d _ À B, so wirkt auf das Tei ® chen die Lorentzkraft _ À F. Es gi ® t: _ À F = _ À v × _ À B. a) Was sagt diese Forme ® über die Richtungen von _ À F, _ À v und _ À B aus. b) Wie beeinf ® usst der Betrag der Geschwindigkeit die Lorentzkraft? c) Wie ändert sich   _ À F, wenn das Tei ® chen mit g ® eich großer, aber entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit durch das Magnetfe ® d f ® iegt? d) Wie groß ist die Lorentzkraft auf ein ruhendes Tei ® chen? Begründe deine Antwort. 1 1 2 3 4 1 0 y z x A a a b b × 3 Finger Rechtssystem a a b b × Techno ® ogie Veranschau- ® ichung des Vektorprodukts 752b6i a c u v w b 1 –1 –1 1 1 –1 0 y z x v B A Nur zu u Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv