Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke Merke Merke 166 Vektoren im Raum 10 F ® ächen und Vo ® umsberechnungen Auf Grund seiner Eigenschaften kann das Vektorprodukt zur Berechnung von F ® ächen und  Vo ® umina geometrischer Körper verwendet werden. F ® äche eines Dreiecks Da jedes Dreieck ein ha ® bes Para ®® e ® ogramm ist, ergibt sich a ® s F ® ächenforme ® für das Dreieck A Dreieck = 1 _ 2 · | _ À a × _ À b | . 657. Berechne die F ® ächen des Dreiecks mit den Eckpunkten A,B und C. a)  A = (2 1 5 1 1), B = (‒ 2 1 2 1 ‒1), C = (2 1 4 1 0)  c) A = (1 1 ‒ 2 1 5), B = (‒ 3 1 ‒ 2 1 1), C = (3 1 ‒1 1 2) b) A = (0 1 ‒1 1 5), B = (‒ 2 1 ‒ 3 1 3), C = (‒ 4 1 ‒ 5 1 1)  d) A = (2 1 0 1 0), B = (0 1 0 1 0), C = (0 1 5 1 0) 658. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A = (‒ 2 1 6 1 5), B = (‒1 1 8 1 5), C = (‒ 4 1 7 1 5). a) Berechne die F ® äche des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten. b) Berechne die Höhe des Dreiecks auf die Seite AC. Vo ® umen eines Para ®® e ® epipeds Ein Para ®® e ® epiped wird von sechs Para ®® e ® ogrammen begrenzt, von denen je zwei gegenüber ® iegende kongruent sind. V = | ( _ À a × _ À b) ·   _ À c | (Beweis S. 277) 659. Berechne das Vo ® umen des Para ®® e ® epipeds mit den Seitenvektoren _ À a, _ À b, _ À c. a) _ À a = 2 2 1 ‒1 3 , _ À b = 2 3 2 ‒ 2 3 , _ À c = 2 4 1 0 3 b) _ À a = 2 2 ‒ 2 1 3 , _ À b = 2 2 1 ‒ 3 3 , _ À c = 2 ‒1 1 1 3 c) _ À a = 2 1 0 0 3 , _ À b = 2 0 1 0 3 , _ À c = 2 0 0 1 3 660. Berechne das Vo ® umen des Para ®® e ® epipeds mit den Eckpunkten A B, C und E. a)  A = (‒ 3 1 ‒ 5 1 1), B = (‒ 3 1 5 1 ‒1), C = (‒ 3 1 5 1 0), E = (0 1 2 1 ‒ 3) b) A = (1 1 2 1 0), B = (‒ 3 1 4 1 0), C = (‒ 2 1 5 1 0) , E = (1 1 2 1 5) c) A = (6 1 2 1 ‒1), B = (‒ 3 1 4 1 ‒1), C = (3 1 1 1 1), E = (0 1 0 1 9) Vo ® umen eines dreiseitigen Prismas Da jedes dreiseitige Prisma ein ha ® bes Para ®® e ® epiped ist gi ® t: V = 1 _ 2 · | ( _ À a × _ À b) ·   _ À c | . Techno ® ogie F ® äche eines Dreiecks bestimmen 44mm6v 1 1 2 3 4 1 0 y z x a a b b × b c a E A B C D F H G Techno ® ogie Vo ® umen berechnen GeoGebra 3ib3yu b c a Nur 2 _ zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv