Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Schulbuch

Merke 189 kompe- tenzen 12.1 Parameterdarste ®® ung einer Ebene Lernzie ® e: º Die Parameterdarste ®® ung einer Ebene kennen und aufste ®® en können (AG-L 3.9) º Die Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene bestimmen können Wie man sich mit Hi ® fe von zwei Stiften über ® egen kann, ist eine Ebene im R 3  durch einen Punkt und zwei Richtungsvek- toren (die nicht para ®® e ®  sein dürfen!) eindeutig festge ® egt. Jeder Punkt der Ebene e kann berechnet werden, indem  man zum Punkt P ein Vie ® faches des Richtungsvektors _ À a und ein Vie ® faches des Richtungsvektors _ À b addiert. Zum Beispie ® : X 1  = P + 2 ·   _ À a + 3 ·   _ À b; X 2  = P + (‒1) ·   _ À a + 2 ·   _ À b Durch diese Methode werden aussch ® ieß ® ich Punkte auf der Ebene e beschrieben. Das führt  zur Parameterdarste ®® ung einer Ebene. Parameterdarste ®® ung einer Ebene im R 3 A ®® e Punkte X, die in einer gemeinsamen Ebene e  ® iegen, können durch fo ® gende G ® eichung beschrieben werden: e: X = P + s ·   _ À a + t ·   _ À b s, t * R ; _ À a, _ À b, X, P  * R 3 ; _ À a, _ À b nicht para ®® e ® 729. Nenne mög ® ichst vie ® e verschiedene Mög ® ichkeiten von Angaben, die eine Ebene eindeutig  fest ® egen. (Z. B.: 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden  ® iegen) 730. Begründe, warum durch fo ® gende Angaben die Ebene e nicht eindeutig festge ® egt ist. a) e: _ À X = 2 ‒ 4 2 0 3  + t ·   2 1 ‒1 ‒1 3  + s ·   2 ‒ 3 3 3 3 b)  e[A = (‒1 1 0 1 2), B = (0 1 1 1 3), C = (‒ 6 1 ‒ 5 1 ‒ 3)] 731. Die Ebene e enthä ® t die Punkte A, B, C: e[A = (‒ 4 1 2 1 0 ) ; B = (3 1 ‒1 1 ‒ 3); C = (0 1 ‒ 2 1 4)]. a) Bestimme die Parameterdarste ®® ung von e. b) Bestimme einen be ® iebigen weiteren Punkt F der Ebene e. a)  Für die Parameterdarste ®® ung der Ebene benötigt man einen Punkt und zwei Richtungs- vektoren. A ® s Richtungsvektoren werden _ À AB und   _ À AC verwendet, a ® s Punkt kann man A  verwenden: _ À AB = B – A =   2 7 ‒ 3 ‒ 3 3 _ À AC =   2 4 ‒ 4 4 3 u 2 1 ‒1 1 3 w e: X = 2 ‒ 4 2 0 3  + s ·   2 7 ‒ 3 ‒ 3 3  + t ·   2 1 ‒1 1 3 s, t * R Da die Richtungsvektoren nicht para ®® e ® ( ® inear unabhängig) sind, hande ® t es sich um eine geeignete Parameterdarste ®® ung. b) Wenn die Parameter s und t mit ree ®® en Zah ® en be ® egt werden, erhä ® t man einen Punkt der  Ebene. Z. B. erhä ® t man für t = 1 und s = ‒ 2: F = 2 ‒ 4 2 0 3  + 1 ·   2 7 ‒ 3 ‒ 3 3  + (‒ 2) ·   2 1 ‒1 1 3 = 2 1 1 ‒ 5 3 F = (1 1 1 1 ‒ 5) z y x e b a a b b b b b – a P X 1 = P + 2a + 3b _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À _ À X 2 = P + (–1)a + 2b _ À _ À X 2 X 1 b Techno ® ogie Veranschau ® ichung kq8w99 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum F D des Verlags öbv